Es $\mathbb{C}[x]_{(x)}=\mathbb{C}[x]$ ?

Question

No sé cuál es la diferencia entre $\mathbb{C}[x]_{(x)}$ y $\mathbb{C}[x]$ .

¿No es la localización igual al anillo original? ¿Entonces por qué se utiliza la primera presentación?

Answer 1

El anillo $\Bbb C[x]_{(x)}$ es estrictamente más grande. Es la localización de $\Bbb C[x]$ en el subconjunto multiplicador $S=\Bbb C[x]\setminus (x).$

Desde $\Bbb C[x]$ es un dominio, $S$ no tiene zerodivisores, lo que implica que el homomorfismo natural $\Bbb C[x]\to\Bbb C[x]_{(x)}$ es inyectable. De hecho, ya que obtenemos $\Bbb C[x]_{(x)}$ invirtiendo formalmente los elementos de $S,$ podemos ver ambos anillos como subrings de $\Bbb C(x),$ el campo de fracción de $\Bbb C[x].$ Luego $\Bbb C[x]_{(x)}$ consiste en aquellos $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ de tal manera que $g(0)\neq 0,$ lo que significa que la función meromórfica $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ es regular a nivel local en $x=0$ (que es exactamente el punto cerrado de $\operatorname{Spec}(\Bbb C[x])$ definido por el ideal $(x)$ ).

Answer 2

Desde $(x)$ es primordial, $\Bbb C[x]_{(x)}$ es un anillo local. $\Bbb C[x]$ no es, por supuesto, un anillo local.