Te parace bien

Question

Yo estaba pensando, inspirado por mathlinks, precisamente a partir de este post, si existe una función real continua $f:\mathbb R\to\mathbb R$ tal que $$f(f(x))=e^x.$$ sin Embargo, no han sido todavía capaces de dar con una respuesta. Me gustaría compartir este problema con usted.

No estoy al tanto de su nivel, aunque yo no lo clasificaría como tareas, de modo que no le estoy dando a la tarea de la etiqueta. Si alguien siente que este problema es en realidad fácil o se ve como una tarea, por favor siéntase libre de agregar a la etiqueta.

EDITAR para aquellos interesados en el complejo caso, he encontrado esto en MathOverflow. Es la primera respuesta. Wow! enlace

Answer 1

Si $f$ es una solución, es inyectiva, por lo tanto aumentando o disminuyendo. Si $f$ fue surjective, $\mathrm{exp}$ sería demasiado, por lo $f$ no lo es. Si $f$ fue disminuyendo, habría un punto fijo, y $\mathrm{exp}$ demasiado, por lo $f$ es cada vez mayor. El conjunto $f(\mathbb{R})$ es igual a $]a,b[$ algunos $a<b$, posiblemente infinita. Si $b \neq + \infty$, $\exp (x) < b$ para todos los $x$, contradicción. Por lo $b = + \infty$ y desde $f$ no es surjective, $a \neq - \infty$. Si $a \geq 0$, $\exp (x) \geq f(a)>0$ para todos los $x$, y eso es imposible ($x=\log f(a)-1$ por ejemplo). Por lo $a<0$. Desde $\lim_{- \infty} f = a$, $\lim_{- \infty} \exp = f(a)$, y por lo $f(a)=0$.

Ahora toda la función de $f$ puede ser reconstruido a partir de $f|_{]- \infty, a]}$. Supongamos que sólo tenemos un continuo, creciente y surjective función de $f: ]-\infty,a] \rightarrow ]a,0]$. Podemos extender a una función continua en a $\mathbb{R}$ tal que $f \circ f = \exp$. Por ejemplo, si $a < x \leq 0$, $x=f(y)$ para algunos únicas $y \in ]-\infty,a]$, y así $f(x)=\exp y = \exp f^{-1}(x)$ ($f^{-1} : ]a,0] \rightarrow ]-\infty,a]$). Es fácil comprobar que este define un continuo, creciente y surjective función de $f : ]-\infty,0] \rightarrow ]a,\exp a]$ (sólo la continuidad en $a$ no es completamente obvio, pero es fácil). Podemos extender $f$ en $]0,\exp (a)]$, $]\exp (a),1]$, etc.

Así que hay infinitamente muchos continuo de soluciones, y una receta que les da todo: pick $a<0$, y "recoger" un continuo, creciente y surjective función de $f : ]-\infty,a] \rightarrow ]a,0]$. No hay una única extensión continua de $f$ tal que $f \circ f = \exp$.

Si desea $f$ $C^k$, $C^{\infty}$, analítica; usted necesita tomar $f$ que es así, por $]-\infty,a]$, y comprobar que es así que alrededor de $a$ en el momento de la primera extensión (el comportamiento de $f$ sobre el derecho de $a$ es controlado por su comportamiento en $-\infty$, debido a $f(a+\epsilon)=\exp f^{-1} (a+\epsilon)$). Divertirse!

Answer 2

Este es un tema difícil. Puedo poner un número de referencias en el ENLACE donde se debe comenzar con el obituario de Baker. Sobre la recta real, la dificultad es la causa por puntos fijos. Así, mientras que existen infinitos números complejos tales que $e^z = z,$ para todos los números reales $x$ tenemos $e^x > x$$e^x \neq x.$, por Lo que mi memoria, y esto debe ser en Baker papeles, y creo que es originalmente debido a Kneser, es que hay una solución a lo largo de la línea real a $f(f(x)) = e^x,$ tal que $f$ es real analítica, lo que significa que es analítica en una franja alrededor de la línea real en el plano complejo, pero la "tira" puede tener distinto ancho.

Sept. 2015: la referencia es a un volumen 187 (1950):

Democracia real ya analytische Lösungen der Gleichung $\varphi(\varphi(x)) = e^x$ und verwandter Funktionalgleichungen. Kneser, Hellmuth: Journal für die reine und angewandte Mathematik | Journal für die reine und angewandte Mathematik | Artículo 56 - 67

Henning encontrado un enlace

de alguna manera he descargado una copia de la Goettingen electrónicos de la biblioteca y archivos pdf. Este artículo es inusual, se concentra en el real de la analítica de funciones desde el principio (Todo el Panadero cosas es $\mathbb C$), y no hay fixpoints de la función, ya que son la restricción de la línea real.

Tenga en cuenta que la misma pregunta va mal si la función objetivo disminuye cerca de un punto fijo. Por lo tanto, hay una solución a $g(g(x)) = \sin x$ $C^\infty$ y en realidad analítica, excepto, posiblemente, en múltiplos enteros de $\pi/2.$ EDICIÓN de septiembre de 2015: confirmada por J. Ecalle en el correo electrónico. En comparación, no hay tal cosa para $h(h(x)) = \cos x,$ $\cos x$ es decreciente en el punto fijo en $\mathbf R.$

El método más flexible para la construcción de estas funciones en el difícil caso de que aparentemente se debe a J. Ecalle. No tengo sus papeles. Pero el método es dado en el libro que yo llamo KCG,

Answer 3

Sólo una adición al presente respuestas. A veces me parece, que el problema de la no unicidad de la selección de alguna versión de la mitad-iterar se toma demasiado abstracto. Pero en mi opinión no debería algunas natural argumento, por ejemplo, algunos suavidad.
Para mostrar el efecto de diferentes inicializaciones, que tan bien funcionó por @Plop , me hizo algunas imágenes mediante el uso de excel. Para tener más información de los gráficos que he utilizado, sin embargo la función de $ \small f(x)=h(h(x)) = b^x $ $\small b=\exp(0.5)$ en lugar de $\small b=e $. Estas fotos son en (ver: Excel_presentation) ; es sólo una rápida presentación; utilizar sólo la primera de siete hojas. Aquí están tres de las fotografías para que tengas una idea de lo que estoy hablando:

Muestra las funciones de $ \small f(x)=x, f(x)=b^x, f(x)=b^{b^x}, f(x)=b^{b^{b^x}} $ como fuertes líneas curvas, y la estimación de la 0,5,1.5,2.5 - iterado versiones tan lejos como computables a partir de la estimación inicial (que unvalor en Plop del post). Para ello, el dottest líneas se utilizan para la construcción de la posterior valores de la órbita. (Si mal no recuerdo a la derecha, a continuación, este proceso iterativo de construcción ya fue utilizado por G. H. Hardy, pero no sé si él fue el primero)
El objetivo de una buena opción para una luego de hacer la línea magenta para el medio recorrer en tan suave como sea posible.

Pero, ¿cómo definir o poner en marcha "suave" con un discreto órbita? Una idea es tomar las distancias a la función de las coordenadas de simetría de la función $\small f°^{-0.5}(x) $, ver la siguiente imagen.

Las distancias mostrar una secuencia de forma errática cambiar lengthes. Esto se muestra en la siguiente imagen.

Vamos a ver, que una mejor elección del valor inicial de una podría proporcionar un "más suave" de la versión; en lugar de inicializar con $\small (0,f° ^{0.5}(x))=(0,0.4) $ $\small (0,f° ^{0.5}(x))=(0,0.58) $ y obtener una mejor curva de distancias:

Un conjunto de 3 inicial conjeturas es en el enlace de la Excel-html-salida como se indica en el primer enlace . Las tres primeras fotos son del primer tipo, entonces no es una imagen que explica la distancia-idea y, a continuación, las tres siguientes fotos son de este último tipo. Las siguientes imágenes no son de interés, que son sólo material de trabajo. Puede utilizar el control tabstrip en la parte inferior de la imagen para navegar.

Answer 4

Hay infinitamente muchas tales funciones continuas. Incluso puede Agregar infinitamente diferenciable.

Sin embargo no hay ninguna función toda sobre $\mathbb C$verificando $\forall z\in \mathbb C, f(f(z))=e^z$.

Una pregunta más interesante es si existe una función analítica sobre $\mathbb R$ tal que $\mathbb R$verificando $\forall x\in \mathbb R , f(f(x))=e^x$. La respuesta es positiva pero difícil creo.