Dimensiones y curvas espacio-que llena

Question

¿Si una curva espacio-que llena continuamente puede asignar un intervalo de 1-dimensional en una región de 2 dimensiones, entonces lo que realmente hace la región de 2 dimensiones? ¿No quiere esto decir que sólo 1-dimensión es necesaria para realmente describir todos los puntos?

¿Además, no podía reducir una curva espacio-que llena un integral de superficie en una integral de línea?

Siento que me falta un concepto de base aquí y me gustaría saber lo que es.

Answer 1

Existen diferentes definiciones de dimensión de un espacio. Por ejemplo, para cualquier espacio métrico no se asocia la noción de dimensión de Hausdorff. Una relacionada con la noción es la de Minkowski dimensión de un espacio métrico (que nunca puede exceder la dimensión de Hausdorff). Otro concepto relacionado es el de embalaje dimensión de un espacio métrico. Otro tipo de dimensión que se define para cualquier espacio topológico es el que cubre dimensión.

Cada una de estas nociones de dimensión está motivado por algún tipo de propiedad, tratando de formalizar algún aspecto de la idea intuitiva de dimensión. Es entonces un teorema, por ejemplo, que la cobertura de la dimensión de $n$ dimensiones espacio Euclidiano es en realidad $n$. Es también el caso de que algunas de estas nociones de dimensión (por ejemplo, la dimensión de Hausdorff) puede ser fraccionario, y que puede ser hecho para tener sentido.

Para estas nociones de dimensión, es el caso de que el siguiente es no un teorema: si $f:X\to Y$ es un continuo surjection, a continuación, $X$ $Y$ tienen la misma dimensión. Simplemente no es verdad. Por lo tanto, la idea intuitiva (al menos intuitivo para algunos) que la existencia de una función de este tipo debería incluir la igualdad de dimensiones no están de acuerdo con los formalismos de arriba.

Uno puede intentar introducir una nueva noción de la dimensión, de la siguiente manera. Para los espacios de $X$ $Y$ dicen que la dimensionalidad de $X$ es la misma que la dimensionalidad de $Y$ si no sale de una continua surjection entre los dos espacios. Esto define una relación en (ignorando conjunto teórico de problemas) el conjunto de todos los espacios. La relación es claramente reflexiva y simétrica, pero no transitiva. Su cierre transitivo, a continuación, una las relaciones de equivalencia, y uno puede llamar a la (de nuevo, ignorando conjunto teórico de temas) clases de equivalencia "dimensiones"). A continuación, la dimensión de la $X$ es simplemente $[X]$. Es entonces un trivial teorema que si $f:X\to Y$ es un continuo surjection, a continuación, $X$ $Y$ tienen la misma dimensión. Sin embargo, dudo de que esta noción de dimensión tiene buenas propiedades.