Prueba de la propiedad de divisibilidad: Si $e\mid ab$, $e\mid cd$ y $e\mid ac+bd$ y $e\mid ac$ y $e\mid bd$.

Question

$a,b,c,d,e\in \mathbb{Z}$. Demostrar eso si $e\mid ab$, $e\mid cd$ y $e\mid ac+bd$ y $e\mid ac$ y $e\mid bd$.

Podría utilizar algunos consejos sobre cómo demostrar esta propiedad.

Answer 1

Que $\,m = ac/e,\ n = bd/e.\,$ hipótesis $\, \color{#c00}{m+n,\, mn \in \Bbb Z}\,$ y $\,m,n\,$ son raíces de $\,(x-m)(x-n).\,$ esto tiene $\color{#c00}{\rm integer}\,$ coeffs por lo tanto, la Prueba de la raíz racional, $\,m,n\in\Bbb Z,\,$ % tan $\ e\mid ac,bd.$