Explicar las siguientes igualdades

Question

Estoy un poco atascado en venir para arriba con explicación geométrica para por qué las siguientes igualdades son verdaderas. He probado argumentando que el $\cos(\theta)$ es la proyección en el eje x de un vector $r$ dentro de un círculo de unidad, así como va por $2 \pi$, las proyecciones en la parte positiva y negativa del eje x se anulan. ¿Alguien podría confirmar por favor si es totalmente correcto pensar así? $$\cos(\theta) + \cos(\theta + 2 \pi/3) + \cos(\theta + 4\pi/3) = 0$$

$$\sin(\theta) + \sin(\theta + 2 \pi/3) + \sin(\theta + 4\pi/3) = 0$ $ Y qué pasa con: $$\cos^2(\theta) + \cos^2(\theta + 2 \pi/3) + \cos^2(\theta + 4\pi/3) = \frac{3}{2}$ $

$$\sin^2(\theta) + \sin^2(\theta + 2 \pi/3) + \sin^2(\theta + 4\pi/3) = \frac{3}{2}$$

Answer 1

El primer conjunto de ecuaciones: he Aquí un geométrica de razón. Imaginar que el lugar $1$ kg de pesas en el círculo unitario correspondiente a los ángulos de $\theta$, $\theta+\frac{2\pi}{3}$ y $\theta+\frac{4\pi}{3}$. Estos puntos forman una configuración que es una rotación de

El centro de masa de esta configuración está en el origen, y por lo tanto el mismo es cierto para sus rotaciones. Mirando el $x$ $y$ coordenadas, esto implica que. $$\cos(\theta)+\cos(\theta+2\pi/3)+\cos(\theta+4\pi/3)=0$$ and $$\sin(\theta)+\sin(\theta+2\pi/3)+\sin(\theta+4\pi/3)=0.$$

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El segundo conjunto de ecuaciones:

Nuestro objetivo es mostrar que $$\cos^2(\theta)+\cos^2\left(\theta+\frac{2\pi}{3}\right)+\cos^2\left(\theta+\frac{4\pi}{3}\right)=\sin^2(\theta)+\sin^2\left(\theta+\frac{2\pi}{3}\right)+\sin^2\left(\theta+\frac{4\pi}{3}\right),$$ since we know that the sum of all $6$ terms equals $3$ as these are three unit vectors in the plane. Proceeding by the identity $\cos(2\theta)=2\cos^2(\theta)-1$ y con el primer conjunto de ecuaciones de la forma más rápida de probar el resultado. Aunque no tengo una prueba geométrica, he aquí otra prueba de que soy aficionado:

Para $0<\theta<2\pi/3$ definir $$u=\left[\begin{array}{c} \cos\theta\\ \cos\left(\theta+2\pi/3\right)\\ \cos\left(\theta+4\pi/3\right) \end{array}\right],\ \ \ v=\left[\begin{array}{c} \sin\theta\\ \sin\left(\theta+2\pi/3\right)\\ \sin\left(\theta+4\pi/3\right) \end{array}\right].$$ Entonces sabemos que el $\|u\|_{2}^{2}+\|v\|_{2}^{2}=3$ y estamos tratando de mostrar que $\|v\|_{2}=\|u\|_{2}$ . Por la identidad de $$\sin(\theta)=\frac{\sin\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)+\sin\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)}{\sqrt{3}}=\frac{-\cos\left(\theta+\frac{2\pi}{3}\right)+\cos\left(\theta+\frac{4\pi}{3}\right)}{\sqrt{3}},$$ el operador $$T=\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 1\\ 1 & 0 & -1\\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right]$$ satisface $T(u)=v$ . Desde $u$ es en el núcleo de la constante de la matriz por la primera parte, vemos que $$S=T+\frac{1}{3}\left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right]$$ satisface $S(u)=v$ y , además, $S^{-1}=S^{T}$ de modo que $S$ es una matriz ortogonal. Esto implica que $\|u\|_{2}=\|v\|_{2}$ como $S$ entonces es una isometría.

Answer 2

La respuesta por @Eric Naslund da muy buena visión de lo que a primera poco el problema. Mi respuesta está en la dirección de la segunda bits, pero no se presentan como elegante (como me parece que no puede encontrar un fenómeno físico que hace uso de las ecuaciones). Se utiliza el primer bit en la explicación y prueba de lo que es de esperar, se tendrá un panorama más claro al final de este.

Desde la observación inicial, podemos deducir que $\cos^2(\theta)+\cos^2(\theta+2\pi/3)+\cos^2(\theta+4\pi/3)$ es sin duda mayor que la $0$, debido a la suma de tres números positivos tiene que ser positiva. También está a menos de 3, debido a que $\cos$ y por lo tanto, $\cos^2$ de cualquier ángulo es menor que 1.

En la primera parte, vimos que el lugar geométrico de los puntos con coordenadas $(\cos(\theta),\sin(\theta))$ es un círculo centrado en el origen y radio = $1$ de la unidad. Este lugar se extiende a todos los 4 cuadrantes. El lugar geométrico de los puntos con coordenadas $(\cos^2(\theta),\sin^2(\theta))$ es una línea recta a través de$(1,0)$$(0,1)$.

Esto tiene sentido, porque $\cos^2(\theta)+\sin^2(\theta)=1$ en todos los valores de $\theta$. Como $\theta$ varía de $[0,\pi/2]$, va de $(0,1)$ $(1,0)$a lo largo de esa línea. Moviendo $\theta$$[\pi/2,\pi]$, uno va detrás de $(1,0)$ $(0,1)$a lo largo de esa línea. Este ciclo continúa para la posterior cuadrantes. La proyección sobre el eje x es siempre positiva y se demuestra que la suma será mayor que 0. Asimismo, dado que los tres ángulos que se diferencian unas de otras por $2\pi/3$, la suma será de menos de 3.

Permite presumir nuestra $\theta$ se encuentra en el primer cuadrante. Por lo tanto, $\theta+2\pi/3$ está en el segundo o tercer cuadrante y $\theta+4\pi/3$ está en el tercer o cuarto cuadrante. Si uno se conecte en valores y ver, uno se encuentra que como $\theta$ varía de $[0,\pi/2]$, tenemos: $$ \cos^2(\theta) \in [0,1] \;\;\;\text{ blue region} \\ \cos^2(\theta+2\pi/3) \in [0.25,1] \;\;\;\text{ red region}\\ \cos^2(\theta+4\pi/3) \in [0,0.75] \;\;\;\text{ green region}$$

El gráfico muestra el $\cos^2(\theta)$ v/s $\theta$. La función de azul y rojo de la región, ambos comienzan a $0.25$ y final en $0.75$. Sin embargo, cada uno se mueve en una dirección diferente, dejando a la región roja a tocar a $1.00$ y el verde de la región de tocar a $0.00$. La suma de la función en las dos regiones, se puede observar, está en aumento. Uno puede también tenga en cuenta que $0.5\leq\cos^2(\theta+2\pi/3)+\cos^2(\theta+4\pi/3) \leq 1.5$. Vemos que a medida que la función disminuye en la zona azul, la suma de la función en el rojo y el verde regiones aumenta.

Al menos, podemos concluir $0.5\leq\cos^2(\theta)+\cos^2(\theta+2\pi/3)+\cos^2(\theta+4\pi/3)\leq2.5$. Si usted ha sido rápida a la notificación, y luego ya a la conclusión de que la desigualdad de los límites puede ser hecho más estrictos. Pero, permite presumir que no tenemos ese conocimiento todavía. Sólo sabemos cómo las condiciones varían en sus rangos, que la suma total debe ser positiva y como región azul disminuye el rojo y el verde en aumento. A ver lo que la suma es exactamente lo que debe, hacemos uso de las identidades trigonométricas.

Sabemos que: $$ \cos^2(\theta) = \frac{1}{2}(\cos(2\theta)+1) $$ Por lo tanto, tenemos: $$ \cos^2(\theta)+\cos^2(\theta+2\pi/3)+\cos^2(\theta+4\pi/3) = \\ \frac{1}{2}\left ( \cos(2\theta)+\cos(2\theta+4\pi/3)+\cos(2\theta+8\pi/3)+3 \right ) $$ Ahora, desde la $\cos(2\theta+8\pi/3) = \cos(2\theta+2\pi/3+2\pi)=\cos(2\theta+2\pi/3)$, el lado derecho de las ecuaciones anteriores se convierte en $$ = \frac{1}{2}\left ( \cos(2\theta)+\cos(2\theta+4\pi/3)+\cos(2\theta+2\pi/3)+3 \right ) \\ = \frac{1}{2}\left ( 0+3 \right ) $$ Que es lo que quieres. El $\sin$ parte es fácilmente derivan de esto.

Answer 3

Tenemos $\cos(\theta) + \cos(\theta + 2 \pi/3) + \cos(\theta + 4\pi/3) = \operatorname{Re} e^{i\theta}+e^{i\theta+i2\pi/3}+e^{i\theta+i4\pi/3}) $ and $\sin\theta+ \sin(\theta + 2 \pi/3) + \sin(\theta + 4\pi/3)=\operatorname{Im} e^{i\theta}+e^{i\theta+i2\pi/3}+e^{i\theta+i4\pi/3})$, pero: $$ e^{i\theta}+e^{i\theta+i2\pi/3}+e^{i\theta+i4\pi/3}= e^{i\theta}(1+e^{i2\pi/3}+e^{i4\pi/3})=0, $$ debido a $1+e^{i2\pi/3}+e^{i4\pi/3}$ es la suma de las soluciones de la ecuación de $x^3-1=0$.

Si recordamos ahora que $[\operatorname{Re}(z)]^2={1\over2}[|z|^2+\operatorname{Re}(z^2)]$$[\operatorname{Im}(z)]^2={1\over2}[|z|^2-\operatorname{Re}(z^2)]$, tenemos $$ \cos^2(\theta) + \cos^2(\theta + 2 \pi/3) + \cos^2(\theta + 4\pi/3)=\\ {1\over2}\bigl(|e^{i\theta}|^2+|e^{i\theta+i2\pi/3}|^2+|e^{i\theta+i4\pi/3}|^2+\operatorname{Re}(e^{2i\theta}+e^{2i\theta+i4\pi/3}+e^{i\theta+i8\pi/3})\bigr)=\\ {3\over2}+\operatorname{Re}\bigl(e^{2i\theta}(1+e^{i4\pi/3}+e^{i2\pi/3})\bigr)={3\over2} $$ y una similar de la igualdad para el seno.

Answer 4

Sugerencia puede utilizar la fórmula $cosA+cosB+cosC=cosAcosBcosC[1-tanAtanB-tanBtanC-tanAtanC]$ y $sinA+sinB+sinC=cosAcosBcosC[tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC$ nota he dado como prueba trigonometric para su fórmula. Su trabajo tidious pero seguramente conseguirá una prueba trigonométrica para él. Espero que le ayuda.