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Calcular

$$\displaystyle\int_{1/t}^t\dfrac{dx}{(x^2+1)(x^t+1)}=I_t=?$$

Intento 1:

Si aplicamos la sustitución $x=1/u$, entonces nuestra integral será la siguiente;

$$\displaystyle\int_{1/t}^t\dfrac{dx}{(x^2+1)(x^t+1)}=-\displaystyle\int_{t}^{1/t}\dfrac1{u^2}\dfrac{du}{\left(\dfrac{1+u^2}{u^2}\right)\left(\dfrac{1+u^t}{u^t}\right)}=\displaystyle\int_{1/t}^t\dfrac{du}{\frac{(u^2+1)(u^t+1)}{u^t}}$$

Pero esto no tiene sentido:

$I_t=\displaystyle\int_{1/t}^t\dfrac{u^tdx}{(u^2+1)(u^t+1)}=\displaystyle\int_{1/t}^t\dfrac{x^tdx}{(x^2+1)(x^t+1)}=^?\displaystyle\int_{1/t}^t\dfrac{dx}{(x^2+1)(x^t+1)}$

Intento 2:

$$\dfrac{1}{(x^2+1)(x^t+1)}=\dfrac{Ax+B}{(x^2+1)}+\dfrac{h_{t-1}x^{t-1}+h_{t-2}x^{t-2}+...+h_1x+h_0}{(x^t+1)}$$$$\to$$ $$A+h_{t-1}=0\\B+h_{t-2}=0\\B+h_0=0\\A+h_1=0$$ son el otro $h_i$ $0$; $$\displaystyle\int_{1/t}^t\dfrac{dx}{(x^2+1)(x^t+1)}=\displaystyle\int_{1/t}^t\left(\dfrac{Ax+B}{(x^2+1)}+\dfrac{h_{t-1}x^{t-1}+h_{t-2}x^{t-2}+...+h_1x+h_0}{(x^t+1)}a\right)$$$$\to$$$$ \displaystyle\int_{1/t}^t\dfrac{dx}{(x^2+1)(x^t+1)}=\displaystyle\int_{1/t}^t\left(\dfrac{Ax+B}{(x^2+1)}-\dfrac{Ax^{t-1}+Bx^{t-2}+Ax+B}{(x^t+1)}\right)$$

Después de esto, he intentado aplicar la sustitución de las formas trigonométricas etc., pero yo no.

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Zain Patel Puntos 6331

Sugerencia: Has demostrado $$I = \int_{1/t}^t \frac{x^t \, \mathrm{d}x}{(x^2+1)(x^t+1)} = \int_{1/t}^t \frac{\mathrm{d}x}{(x^2+1)(x^t+1)}$ $

Ahora agregar juntos para obtener $$2I = \int_{1/t}^t \frac{x^t + 1}{(x^2+1)(x^t+1)} \, \mathrm{d}x = \int_{1/t}^t \frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}$ $


Según el comentario excelente Dr. MV, esta técnica funciona para cualquier integrante de la forma $\int_{1/a}^a \frac{\mathrm{d}x}{(x^2+1)(x^b+1)}$, que tiene tanto el límite superior ser $t$ y el exponente en el integrando se $t$ así no tiene ninguna importancia.

De hecho, su sustitución (inteligente) es lo que nos muestra que el valor del exponente en $(x^t+1)$ es totalmente irrelevante para el problema.

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