Resolver la ecuación diferencial $x^3 \frac{dy}{dx}=y^3+y^2\sqrt{x^2+y^2}$

Question

Resolver la ecuación diferencial $$x^3 \frac{dy}{dx}=y^3+y^2\sqrt{x^2+y^2}$$

reduje la ecuación como

$$x^3\frac{dy}{dx}=y^3\left(1+\sqrt{1+\left(\frac{x}{y}\right)^2}\right)$$ $\implies$

$$\frac{x^3}{y^3}\frac{dy}{dx}=\left(1+\sqrt{1+\left(\frac{x}{y}\right)^2}\right) \tag{1}$$ Próxima puesta $$\frac{x}{y}=v$$ obtenemos

$$ x=vy$$ entonces

$$ \frac{dx}{dy}=v+y\frac{dv}{dy}$$ Entonces $(1)$ se convierte en

$$\frac{v^3}{v+y\frac{dv}{dy}}=1+\sqrt{1+v^2}$$ Recíprocamente obtenemos

$$\frac{v+y\frac{dv}{dy}}{v^3}=\frac{1}{\sqrt{1+v^2}+1}$$ Racionalizando la RHS obtenemos

$$\frac{v+y\frac{dv}{dy}}{v^3}=\frac{\sqrt{1+v^2}-1}{v^2}$$ Reordenando obtenemos

$$\frac{dv}{v \times \left(\sqrt{1+v^2}-2\right)}=\frac{dy}{y}$$

EDIT: pongo aquí la pista dada por paul utilizando la Sustitución $v=\tan z$ :

$$\int\frac{dv}{v \times \left(\sqrt{1+v^2}-2\right)}=\int\frac{\sec^2 z\: dz}{\tan z(\sec z-2)}=\int\frac{dz}{\sin z(1-2\cos z)}$$ Así que

$$\int\frac{dz}{\sin z(1-2\cos z)}=\int \frac{\sin z\: dz}{\sin^2 z(1-2\cos z)}$$

Poner $\cos z=t$ y utilizar fracciones parciales

Answer 1

Bueno, dejemos que $\text{y}\left(x\right)=x\cdot\text{r}\left(x\right)$ , lo que da $\text{y}'\left(x\right)=x\cdot\text{r}'\left(x\right)+\text{r}\left(x\right)$ :

$$x^3\cdot\text{y}'\left(x\right)=\text{y}\left(x\right)^3+\text{y}\left(x\right)^2\cdot\sqrt{x^2+\text{y}\left(x\right)^2}\space\Longleftrightarrow\space$$ $$x^3\cdot\left(x\cdot\text{r}'\left(x\right)+\text{r}\left(x\right)\right)=\left(x\cdot\text{r}\left(x\right)\right)^3+\left(x\cdot\text{r}\left(x\right)\right)^2\cdot\sqrt{x^2+\left(x\cdot\text{r}\left(x\right)\right)^2}\tag1$$

Resolver para $\text{r}'\left(x\right)$ :

$$\text{r}'\left(x\right)=\frac{\text{r}\left(x\right)\cdot\left(\text{r}\left(x\right)^2-1+\text{r}\left(x\right)\cdot\sqrt{1+\text{r}\left(x\right)^2}\right)}{x}\tag2$$

Dividir ambos lados por el numerador del lado derecho e integrar ambos lados:

$$\int\frac{\text{r}'\left(x\right)}{\text{r}\left(x\right)\cdot\left(\text{r}\left(x\right)^2-1+\text{r}\left(x\right)\cdot\sqrt{1+\text{r}\left(x\right)^2}\right)}\space\text{d}x=\int\frac{1}{x}\space\text{d}x\tag3$$

Para las integrales:

• Sustituir $\text{u}=\text{r}\left(x\right)$ : $$\int\frac{\text{r}'\left(x\right)}{\text{r}\left(x\right)\cdot\left(\text{r}\left(x\right)^2-1+\text{r}\left(x\right)\cdot\sqrt{1+\text{r}\left(x\right)^2}\right)}\space\text{d}x=$$ $$\int\frac{1}{\text{u}\cdot\left(\text{u}^2-1+\text{u}\cdot\sqrt{1+\text{u}^2}\right)}\space\text{d}\text{u}=$$ $$\frac{\ln\left|\left(\text{u}+\sqrt{1+\text{u}^2}\right)^2\right|}{3}-\ln\left|\left(\text{u}+\sqrt{1+\text{u}^2}\right)^2-1\right|+\frac{2\ln\left|\left(\text{u}+\sqrt{1+\text{u}^2}\right)^2-3\right|}{3}+\text{C}_1\tag4$$
• $$\int\frac{1}{x}\space\text{d}x=\ln\left|x\right|+\text{C}_2\tag5$$

Así que, tenemos:

$$\frac{\ln\left|\left(\text{u}+\sqrt{1+\text{u}^2}\right)^2\right|}{3}-\ln\left|\left(\text{u}+\sqrt{1+\text{u}^2}\right)^2-1\right|+\frac{2\ln\left|\left(\text{u}+\sqrt{1+\text{u}^2}\right)^2-3\right|}{3}=\ln\left|x\right|+\text{C}\tag6$$ .

Ahora, usa:

$$\text{u}=\frac{\text{y}\left(x\right)}{x}\tag7$$

Answer 2

La solución de la EDO se presenta a continuación en forma paramétrica. La forma explícita se puede obtener pero implica las raíces de una ecuación polinómica cúbica que llevaría a una gran fórmula.