Divisibilidad de polinomios sobre un campo finito

Question

Que $K$ ser un campo finito.

Que $f$ sea un polinomio irreducible sobre $K$ $n\ge 2$ de grado.

Que $P_i$ sea el producto de los polinomios de grado $i$ $K$.

Probar que divide a que $f$ $P_1\cdot\ldots\cdot P_{n-1}-1$.

Answer 1

Esto es esencialmente el teorema de Wilson para $ K[X]/(f) $. Para probarlo, simplemente nota que cualquier polinomio de grado $ 1 \leq \deg < n $ admiten una inversa de grado $ 1 \leq \deg < n $ modulo $ f $ y no tal polinomio es inverso de sí mismo, así que usted puede emparejar juntos inversos en el producto a obtener cada factor en el producto se cancela, con $ 1 $ modulo $ f $.