Teoría del número nuevo valiente

Question

Supongo que esta es una muy general la pregunta, así que pido disculpas, y tal vez debería ser eliminado. Por otro lado es una impresionante pregunta.

Está claro exactamente cuánto (supuestamente algebraica) de la teoría de números puede escrita en el diagrama de abajo, y si es así, ha habido ningún esfuerzo para escribir este tipo de problemas en la categoría de los espectros (cualquier categoría) y resolver los problemas allí? Parece que algunos problemas pueden ser más fácil de solucionar, si sólo porque allí en algún sentido "más" espectros de trabajar con que hay algebraica de los objetos (es decir, él tiene la Eilenberg-MacLane espectro para cualquier anillo o en el campo de lo que sea, pero también tenemos cosas que no vienen de cualquier objeto algebraico).

He oído hablar de Rognes trabajo en las extensiones de Galois en este sentido, y que hay una gran cantidad de conexiones a cosas como Morava K-teoría (y los asociados de los espectros), y el plan de al menos intentar perseguir tales ideas.

Gracias

Answer 1

Probablemente esta no sea la respuesta que busca, pero, dado que no hay otras respuestas, puede ser de alguna utilidad. Recientemente, he disfrutado descubriendo lo maravilloso y misterioso de la relación entre la (algebraica) de la teoría de números y la topología de baja dimensión es a través de los enlaces entre los grupos de Galois y homotopy/grupos fundamentales. En particular, la elaboración de las propiedades de los números primos en el campo de la clase de teoría de la aritmética y de la geometría de haber dualidad correlaciones con nudos, enlaces y tres dimensiones de los colectores! Este tema de la Aritmética Topología se insinuó hace tiempo por varias personas, como la D. Mumford y B. Mazur, que recientemente ha conseguido su primera MARAVILLOSO libro:

• Morishita, M. - Nudos y de los números Primos: Una Introducción a la Aritmética de la Topología, Springer 2011.

Algunas de las primeras exploraciones en esta fueron:

• Mazur, B. - Comentarios sobre el Alexander Polinomio,
• Mazur, B. - Notas sobre Étale Cohomology de los Campos de Número,
• Morishita, M. - Analogías entre los Nudos y los Primos, las 3-variedades y Número de Anillos,
• Kohno T.; Morishita M. (eds.) - Los números primos y de los Nudos, la AMS de 2006.

El punto es el estudio de los grupos fundamentales de la topología, pero a partir de un número de la teoría de la perspectiva, es decir, trabajar con el (étale) algebraicas fundamentales del grupo de variedades y esquemas de como se pensaba originalmente por A. Grothendieck en su anabelian geometría. Para esto y como requisito previo a la Morishita del libro, junto con el estándar de la aritmética geometría, uno debe obtener los antecedentes específicos en la relación de Galois gropus y fundamental de los grupos de esquemas, proporcionada por:

• Szamuely, T. - Grupos de Galois y Fundamental de los Grupos, de la COPA de 2009.
• Schneps, L. (ed.) - Grupos de Galois y Fundamental de los Grupos, de la COPA de 2011.

Estas nuevas dualidades entre aparentemente tan distintos mundos puede abrir la puerta a una comprensión profunda de la misteriosa aritmética-topológica de la relación.