Integral

Question

He estado luchando con la integral

$$ I_n(\alpha) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \big( (1+\alpha \cos x) \cos x \big)^n dx,$$

donde $\alpha$ es real y $n$ es un número entero no negativo. Es relativamente fácil obtener los valores específicos de $n$;

$$I_0(\alpha) = 1,~~I_1(\alpha) = \alpha/2,~~I_2(\alpha) =\frac{1}{8} \left(3 \alpha ^2+4\right), \ldots$$

Pero, ¿cómo puedo obtener la expresión general $I_n(\alpha)$? He intentado con la construcción de una recursividad, pero no bastante éxito. También traté de tomar los derivados de 3.661.3 de Gradshteyn-Ryzhik pero no conseguimos nada agradable.

Edición I

Intento usar el teorema del binomio:

\begin{align} \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} dx~ \big( 1 + \alpha\cos (x) \big)^n \cos (x)^n &= \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} dx~ \cos (x)^n \sum_{m=0}^n{ {n}\choose{m}} \alpha^m \cos(x)^m \\ &= \sum_{m=0}^n{ {n}\choose{m}} \alpha^m \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} dx~ \cos (x)^{n+m} \\ &= \sum_{m=0}^n{ {n}\choose{m}} \alpha^m \frac{ 2^{n+m} \pi }{(n+m)! \Gamma\left( \frac{1}{2}(1-n-m) \right)^2} \begin{cases} 1,~~n+m ~ {\rm even}\\ 0,~~n+m ~ {\rm odd} \end{casos} \end{align}

Pero yo no logren expresar los últimos suma en algo bonito... el mejor que tengo es:

\begin{align} I_n(\alpha) &= \left(1 + (-1)^n\right) \frac{\Gamma (n+1)} {2^{n+1}\Gamma \left(\frac{n+2}{2}\right)^2} \,_3F_2\left(\tfrac{1}{2}(1-n),\tfrac{1}{2}(1+n),-\tfrac{n}{2};\tfrac{1}{2},1+\tfrac{n}{2};\alpha ^2\right) \\ &~~~~+ \left(1 + (-1)^{n+1}\right) \frac{n \Gamma (n+1)} {2^n(n+1) \Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)^2} \alpha \,_3F_2\left(\tfrac{1}{2}(1-n),1-\tfrac{n}{2},1+\tfrac{n}{2};\tfrac{3}{2},\tfrac{1}{2}(3+n);\alpha ^2\right) \end{align}

Pero no es muy instructivo...

P. S. lo mismo se puede también obtenerse a partir de la solución sugerida por orlp.

Edición II

Después de una buena sugerencia de Igor me dieron el resultado

$$ I_n(\alpha) = \frac{2}{(2n)!} \lim_{z\i} \frac{d^{2n}}{dz^{2n}} \frac{\left(1 +\alpha + (1-\alpha) z^2 \right)^n \left(1 - z^2\right)^n}{(z+i)^{2n+1}}. $$ Sin embargo, es bastante complicado ahora (al menos para mí) explícitamente calcular esta derivada. Alguna sugerencia?

Answer 1

No estoy completamente seguro de que el teorema del binomio se puede evitar, pero también la de Weierstrass de sustitución ($(t = \tan x/2)$ se transforma la integral en una integral de una función racional de $0$ hasta el infinito, al punto que el residuo es el teorema de tu amigo.

EDITAR Un método similar es el siguiente: en primer lugar tenga en cuenta que su integrando es par, entonces la integral es la mitad de la integral de $-\pi$ $\pi.$Ahora, hacer la sustitución $z = \exp(i x),$, de modo que $\cos x = \frac12\left(z + \frac1z\right),$, por lo que su integral es (medio de) la integral sobre el círculo unidad:

$$ \begin{multline}-i \int_C ((1+ a (1+z^2)/2z)(1+z^2)/2z)^n \frac{dz}z\\ = \frac{-i}{2^{2n}} \int_C((az^2 + 2 z + a)(1+z^2))^n/ z^{2n+1} dz \\= \frac{-i}{2^{2n}}\int_C (a + 2 z + + 2az^2 + 2 z^3 + az^4)^n/z^{2n+1} d z.\end{multline}$$

Así, su objetivo en la vida es encontrar el coeficiente de $z^{2 n}$ $(a + 2 z + + 2az^2 + 2 z^3 + az^4)^n,$ desde que le dará el residuo en $0.$

Answer 2

Esto es una prueba a través de pequeños pasos sin realmente explicar mi proceso de pensamiento, porque en este punto que pasé de manera demasiado tiempo y mis pensamientos se pierden en el viento. El resultado final es una serie de coeficientes para $\alpha$.

$$ I_n(\alpha) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi (1+\alpha \cos(x))^n \cos(x)^n dx$$

$$ I_n(\alpha) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}(\alpha\cos(x))^k \cos(x)^n dx$$

$$ I_n(\alpha) = \frac{1}{\pi} \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\alpha^k\int_0^\pi \cos(x)^{k+n} dx$$

$$ I_n(\alpha) = \frac{1}{\pi} \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\alpha^k\int_0^\pi 2^{-k-n}(e^{ix}+e^{-ix})^{k+n} dx$$

$$ I_n(\alpha) = \frac{1}{\pi} \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}2^{-k-n}\alpha^k\int_0^\pi (e^{ix}+e^{-ix})^{k+n} dx$$

Desde este punto en $k+n$ debe ser incluso, si la integral es cero:

$$ I_n(\alpha) = \frac{1}{\pi} \sum_{k=0}^n \frac{1+(-1)^{k+n}}{2}\binom{n}{k}2^{-k-n}\alpha^k \pi \binom{k+n}{\frac{k + n}{2}}$$

$$ I_n(\alpha) = \sum_{k=0}^n\frac{1+(-1)^{k+n}}{2}2^{-n-k}\binom{n}{k}\binom{k+n}{\frac{k + n}{2}} \alpha^k $$