Mientras hablaba con un amigo sobre el número de $16$, comencé a pensar acerca de lo que dos de los números racionales positivos, $n$$m$, satisfacer la condición de que $n^m$ = $m^n$ donde $n$ $m$ no son iguales. $2$ $4$ , como se discutió con mi amigo, son el primer par de números enteros para ello, y parece ser la única pareja de hacerlo después de fuerza bruta combinaciones en una secuencia de comandos de python. Parece que debería ser más posible pares, por lo que se $2$ $4$ el único de los números racionales positivos para satisfacer estas condiciones?
Esta pregunta ya tiene respuestas:
- $x^y = y^x$ para los números enteros $x$ $y$ (5 respuestas )
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Shanes927
Puntos
1
Teniendo en cuenta el $mn$-ésima raíz de $$n^m=m^n\\n^{1/n}=m^{1/m}$$ Ahora la función de $f(x)=x^{1/x}$ alcanza su máximo en$x=e$, y el aumento de $(0,e)$ y la disminución de $(e,\infty)$ WLOG asumen $m>n$ $m\in (e,\infty)$ mientras $n\in (0,e)$.
Si nos limitamos a $m,n$ a ser enteros, podemos ver que, o bien $m=1$ o $m=2$ que ambos dan las soluciones triviales $m=n=1$$m=2,n=4$.
En general, si estamos buscando soluciones racionales obtenemos la ecuación paramétrica mediante el establecimiento de $n=km$ $$m^{km}=(km)^m\\m^{(k-1)m}=k^m\\m=k^{1/(k-1)}$$ Desde esta poniendo la $t=\frac{1}{k-1}$ obtenemos $m=(1+\frac1t)^t$$n=(1+\frac{1}{t})^{t+1}$, esta parametrización da infinitamente muchas soluciones racionales (para cualquier entero$t\neq -1,0$), por ejemplo, para $t=2$ obtenemos $2.25^{3.375}=3.375^{2.25}$
Reinhard Meier
Puntos
406
Podemos afirmar el requisito $m^n=n^m$ $$ \frac{\ln n} {n} = \frac {\ln m} {m} $$ podemos definir $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ $x>0$. Esta función es creciente para $x<e$ y disminuir $x>e$. Alcanza valores negativos para $x<1$ y valores positivos para $x>1$. Por lo tanto, la única forma posible de encontrar dos valores de $x_1$ y $x_2$ tal que el % son $x_1<x_2$y $f(x_1)=f(x_2)$ $x_1\in (1,e)$ y $x_2\in(e,\infty)$. Por lo tanto $x_1 = 2$ y $x_2=4$ son la única solución con números enteros.
B. Goddard
Puntos
2488
Tomar registro de ambos lados y de la onu-de la cruz se multiplican y su ecuación se convierte en
$$\frac{\ln m}{m} = \frac{\ln n}{n}.$$
La gráfica de la función $f(x) = \ln(x)/x$ cuenta la historia. $f$ tiene un máximo local en a $x=e$. Cualquier línea horizontal $y = k$ $0<k<1/e$ corta a la gráfica en dos puntos. El $x$-las coordenadas de los dos puntos son una solución a la ecuación.
Tome $k=1/5$. Arce da las dos soluciones en términos de Lambert Omega funciones, y da decimal aproximaciones: $1.295855509, 12.71320679.$, por Lo que hay un montón de soluciones reales, pero ninguna tan bonita como $2, 4$.
Elija un número racional $a/b$$1$$e$. Set $\ln(x)/x = \ln(a/b)/(a/b)$. Una solución es racional $x=a/b$. La otra solución es dada por $$ \Omega\left(-1,\frac{b}{a}\ln \frac{b}{a}\right)\frac{\frac{a}{b}}{\ln\frac{b}{a}}.$$
Esto parece poco probable a ser racional. Tal vez mirar a la expansión de la serie de $\Omega(\ln(x))$(?)
