Sumando los dígitos de esta manera números primos para obtener otro primos

Question

He creado el siguiente "juego":

Elija algunos de los números primos. Si ha $k$ dígitos a continuación, añadir otra $k$ dígitos a la derecha para obtener otro número primo. Ahora tenemos un número primo con $2k$ dígitos. Ahora agregue $2k$ dígitos a la derecha de la nueva serie para obtener un nuevo número primo. Repita el procedimiento hasta que ya no es posible producir nuevos primos de esta forma.

Para aclarar, tomemos por ejemplo,$5$. Debemos agregar un dígito a la derecha para obtener otro número primo, puede ser $53$. Ahora debemos agregar dos dígitos a la derecha de $53$ para obtener un nuevo prime. Podría ser $5323$. Ahora debemos agregar cuatro dígitos a la derecha de $5323$ para obtener un nuevo prime. Podría ser $53231117$ y así sucesivamente y así sucesivamente...

Es cierto que lo que prime elegimos al principio que este juego nunca termina? Es decir, que siempre es posible construir el más grande de los números primos de los más pequeños en esta forma?

Answer 1

Esto está estrechamente relacionado con ciertas conjeturas sin resolver sobre la distribución de los números primos. Como tal, sospecho que probar, se requeriría de un gran avance en la teoría de números.

Usted necesidad de que para cualquier accesible prime $p$$10^n>p>10^{n-1}$, es una de las principales entre el$10^np$$(10^n+1)p$. Así que hay sin duda debe ser una de las primeras entre las $M$ $M+\sqrt M$ donde $M=10^np$. Ahora, excepto por el hecho de que hay algunas restricciones en $M$, esto es Oppermann de la conjetura. Yo esperaría que el problema sea de similar dificultad, ya que esto todavía tiene que llevar a cabo para un montón de valores de $M$, y no hay ninguna razón por qué tener $M$ de este formulario deben hacer las cosas más fáciles.

Se cree ampliamente que Oppermann la conjetura es muy cierto, en el sentido de que no es una de las principales entre el $M$ $M+f(M)$ para algunos la función $f(M)$ crecen mucho más lentamente de lo $\sqrt M$. Una más precisa declaración de este es Cramér de la conjetura. Cramér demostró que si la hipótesis de Riemann (sin duda el más importante problema sin resolver en matemáticas) podría ser demostrado, una mejora de la enlazado en $f(M)$ seguir, sino incluso que se unía sería más débil que Oppermann la conjetura!

Answer 2

Su operación de adición de $k$, $2k$, $4k$, etc dígitos es igual a $n' \leftarrow 10^k n + c'$ algunos $0 \leq c' < 10^k$.

Desde siempre estamos duplicando dígitos también podemos escribir $n$$10^k + c$. Así que queremos saber si hay una privilegiada entre el$10^k(10^k+c) + 0$$10^k(10^k+c) + 10^k - 1$.

Podemos ignorar el $-1$ al final como entonces el límite superior está compuesto, de modo que nunca puede ser confuso para un primo. Por lo que hay un primer entre el$10^k(10^k+c)$$10^k(10^k + c + 1)$?

En el peor de los casos esta diferencia es menor al $c = 0$, por lo que podemos simplificar a preguntar si hay un primer entre el$10^{2k} $$10^k(10^k+1)$. Creo que este es un problema abierto (Opperman de la conjetura).