EDICIÓN: Michael límite superior es localmente óptima, no a nivel mundial, como me había indicado. Específicamente, hay algunos vecindario $N$ de la distribución de $\alpha:=\frac{n}{n+1}\delta_0+\frac1{n+1}\delta_{n+1}$ (en la topología débil) tal que $\mathbb P(X_1+\ldots+X_n<n+1)<\mathbb P(Y_1+\ldots+Y_n<n+1)$ siempre $(X_i),(Y_i)$ son iid con $X_1\sim\alpha$$Y_1\sim\mu\in N\setminus\{\alpha\}$.
Para ver esto, vamos a $S$ el conjunto de medidas de probabilidad $\mu$ $[0,\infty)$ tal que $\int_0^\infty x\,\mu(dx)=1$, y para $\mu\in S$ definir
$$E_n[\mu]:=\int_{\sum_{i=1}^nx_i<n+1}\mu(dx_1)\ldots\mu(dx_n).$$
Tenga en cuenta que si $(X_i)$ son iid no negativo de variables aleatorias con $\mathbb E[X_1]=1$, e $\mu$ es la ley de la $X_1$,$E_n[\mu]=\mathbb P(X_1+\ldots+X_n<n+1)$. Deje $\alpha=\frac{n}{n+1}\delta_0+\frac1{n+1}\delta_{n+1}$, es decir, $\alpha$ es la distribución de la variable aleatoria Michael define por el límite superior.
Observar que $S$ es convexa, por lo que da arbitrarias $\mu\in S\setminus\{\alpha\}$ la función de $\Phi_n(t):=E_n[(1-t)\alpha+t\mu]$ está bien definido para $t\in[0,1]$. La fórmula para $\Phi_n(t)$ es complicado, pero no necesitamos mucho de ella:
$$\Phi_n(t)=c_0+\left(\sum_{i=1}^n\int_{\sum_jx_j<n+1}\mu(dx_i)\prod_{k\neq i}\alpha(dx_k)-\int_{\sum_jx_j<n+1}n\prod_{k=1}^n\alpha(dx_k)\right)t+\sum_{i=2}^nc_it^i$$
donde el $c_i$ son constantes dependiendo $\mu$ pero no $t$. Este rendimientos
\begin{align*}
\Phi_n'(0) &=n\left(\int_{\sum_j x_j<n+1}\mu(dx_1)\prod_{k=2}^n\alpha(dx_k)-\int_{\sum_j x_j<n+1}\prod_{k=1}^n\alpha(dx_k)\right)\\
&=n\left[\mathbb P\left(Y_1+\sum_{i=2}^nX_i<n+1\right)-\mathbb P\left(\sum_{i=1}^nX_i<n+1\right)\right]
\end{align*}
donde $Y_1$ es una variable aleatoria con la ley de $\mu$, independiente de las variables aleatorias iid $X_i$ a que tienen derecho $\alpha$. Tenga en cuenta que desde $\mu\neq\alpha$$Y_1\ge0$, $\mathbb P(Y_1<n+1)>1-\frac1{n+1}$ y por lo tanto
$$\mathbb P\left(Y_1+\sum_{i=2}^nX_i<n+1\right)=\mathbb P(Y_1<n+1)\mathbb P(X_1=0)^{n-1}>\left(1-\frac1{n+1}\right)^n$$
y por lo tanto $\Phi_n'(0)>0$. Esto implica que existe $\delta>0$ tal que $\Phi_n(0)<\Phi_n(t)$ todos los $t\in(0,\delta)$; desde $\mu$ fue arbitraria, se deduce que el $E_n$ tiene un estricto mínimo local en $\alpha$.
EDIT: yo originalmente había escrito aquí que $E_n$ es convexo y concluir el resultado. Sin embargo, como Michael señala en los comentarios, esta afirmación no es verdadera. Todavía puede ser posible continuar con este argumento y la conclusión de que $\alpha$ es el mundial minimizer de $E_n$, pero en este momento la mejor que tengo es que $\alpha$ es un local minimizer.
Después de haber visto fedja el comentario y la lectura del material relacionado con el, me parece raro que nadie va a ser capaz de resolver es la generalización de la versión que aquí se presenta es un problema de investigación.
