Un simple "número de cadenas de bits", así que pensé

Question

¿Cuántas cadenas de bits de longitud 10 contienen por lo menos tres 1s y 0s por lo menos tres?

Answer 1

Vamos a pensar en el simple hecho de poner el 0 y dejar que el 1 de relleno en el resto de spots. Los casos que nos interesan están cómo obtener exactamente 3, 4, 5, 6, y 7 0.

Cuántas cuerdas tiene exactamente 3 0 s? Este es el número de formas de elegir los 3 lugares de cada 10 lugares disponibles donde el orden no importa, que es $\binom{10}{3}$. Recuerde, sólo estamos centrados en el 0 - 1 sólo tienes que rellenar el resto de spots.

El argumento es el mismo para llegar exactamente 4, 5, 6, y 7 0. Para obtener el total, sólo tenemos que añadir a todos ellos:

$$ \binom{10}{3} + \binom{10}{4} + \binom{10}{5} + \binom{10}{6} + \binom{10}{7}. $$

Answer 2

Considerar el problema complementario: a lo más 2 0s o a lo más 2 1s. Las cuentas para cada caso es $\binom{10}{2}+\binom{10}{1}+\binom{10}{0}=56$; el recuento de al menos 3 0s y 1s de 3 al menos por lo tanto es $2^{10}-2\cdot 56=912$

Answer 3

Lo tendremos 10 puntos total para que este problema será reducido a 10 lugares de 7 ceros y 3, 6ones y 4 ceros, 5 unos y 5 ceros. así $(2\cdot\frac{10!}{7!\cdot 3!})$ (uno de 3 y 7 ceros y otro caso es 3 y 7 ceros) + $2\cdot \frac{(10!}{6!\cdot4!})$ (un caso 6 unos y 4 ceros y otro viceversa) + $\frac{10!}{5!\cdot 5!}$
así que la respuesta Total es 912

Answer 4

Sugerencia: El número de $0$ s es entre (este) y (que); ¿Cuántas cadenas de longitud $n$ contienen exactamente $k$ ceros?