Sabemos de la Teoría de Galois que un polinomio es soluble por radicales si y sólo si su grupo de Galois es solucionable. Por otro lado resolubles por radicales, por ejemplo, significa que la ecuación de $X^n-1=0$ es siempre resolubles por radicales (su grupo de Galois es abelian), pero esto sólo significa que podemos encontrar una solución diciendo que es $1^{1/n}$, que es un radical. Como para $n\le 6$ que puede encontrar su solución en la forma $a+ib$ donde $a,b$ son representables por real radicales. Supongo que esto no es siempre posible para el mayor $n$. (Puedo ver cómo podría ser de hasta el $n\le10$, pero superior?) Hay una teoría sobre este tipo de problema (si un polinomio puede ser resuelto por la "real radicales")?
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Este artículo "Solución de Polinomios por el Real Radicales" podrían ser de interés para usted
http://www.jstor.org/stable/2323164
Se cierra con la observación:
"Vamos a cerrar con la observación de que pueden resolver polinomios con raíces reales pero que no son resolubles por real radicales parecen abundar. Por ejemplo, para cualquier primer p, el polinomio $$f(x) = x^3 - 2px + p$$ tiene esta propiedad... es divertido para resolver este polinomio por Cardán del método para ver donde nonreal números de venir."
Goofy
Puntos
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Desde $1^{1/n} = 1$ no hay ningún parámetro a variar expresar las otras raíces de la unidad. Esto no quiere dar las soluciones a $x^n-1=\prod_{d|n}\Phi_d(x)=0$ sólo resuelve uno de los factores $(x-1)$.
Uno puede expresar de raíces primitivas de la unidad ($\Phi_n(x)=0$) en términos de pequeñas raíces primitivas, que pueden ser muy variadas, la producción de todos los $\varphi(n)$ primitiva $n$th raíces de la unidad.
Esto es en la inducción simultánea con no constructiva prueba de que solucionable grupo de Galois significa que tienen solución en los radicales, o lo que realmente dice: Solucionable grupo de Galois es decir, el número de campo es una secuencia de raíces radical de la extensión y de las raíces de la unidad de extensiones.
Ver un básico de la teoría de Galois de libros de texto para el Casus Irreducibilis sobre el hecho de que usted necesita tener los números imaginarios como un intermedio en la fórmula de Cardano. La teoría sobre la que es en general lo que se puede aplicar a todos los casos.
