Intuición de por qué el volumen y la superficie de la esfera unitaria acaban disminuyendo

Question

La fórmula del volumen de una esfera unitaria, $$\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma{(1 + n/2)}},$$ y la fórmula de la superficie, $$\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma{(n/2)}},$$

ambos alcanzan los valores máximos para un $n$ . Podemos ver en la página de Wikipedia sobre Esfera de la unidad que (para los enteros $n$ al menos), esos valores son 5 y 7, respectivamente.

Ahora bien, sé que, en sentido estricto, estos valores no son realmente comparables, porque representan medidas en dimensiones diferentes. Pero me preguntaba si hay alguna buena razón intuitiva para que esto ocurra, tanto para que ambos disminuyan eventualmente, como para que los valores donde alcanzan sus máximos sean esos (aparentemente los máximos reales son fraccionarios, desde WolframAlpha, aunque no dio una forma cerrada).

Answer 1

Hay que tener en cuenta que la fórmula de una esfera puede presentarse como un producto de fracciones de la forma para dimensiones pares e Impares

  1     3     5     7     9                0     2    4    6    8
 ---------------------------              -------------------------
  2    2pi   2pi   2pi   2pi      and      1    2pi  2pi  2pi  2pi
       --    --    ---   ---                    --  ---  ---   ---
        3     5     7     9                      2    4    6    8

Se ve que el numerador está atascado en $2\pi$ pero el denominador se acelera. La respuesta intuitiva no es tanto que la esfera se haga más pequeña, sino que el cubo se hace muy grande. La intuición sigue exactamente, un cuadrado, cubo, etc que tiene un ángulo de margen específico (es decir 'diedro') en el espacio hiperbólico. El cuerpo se mantiene, pero los vértices se van al infinito, etc. Esto nos dice que es culpa del cubo, no de la esfera, que la proporción se escapa.

El volumen se mide como el momento de la superficie . Lo que esto significa es que construimos un vector que apunta hacia fuera del sólido, y luego integramos el producto punto de un rayo desde un punto o plano, sobre el elemento de la superficie, que es este integrado sobre toda la superficie. así:

$d \text{ volume} = \text{coordinate}\cdot d\text{ surface}$

Cuando la coordenada es radial, hay que dividir el valor por $n$ . Cuando se hace desde un plano (por ejemplo, respecto al eje x), no es necesario dividir por $n$ . La suma por coordenadas por radial, es exactamente la suma de hacerlo desde el $X$ eje, y el $Y$ eje, etc. Ahí es donde la división por $n$ entra.

Cuando se utilizan las coordenadas en términos radiales, y se utiliza lo anterior como definición de volumen, se obtienen medidas en tegmic unidades como en mi Polygloss. Las unidades ordinarias del politopo (cuadrado, cubo, ...), derivan de considerar sólo la coordenada x. El esquema radial equivale a considerar todas las perpendiculares, por lo que el volumen tegmático es n veces el volumen prismático para la misma superficie. Y como la superficie es un volumen de N-1 dimensiones, se puede demostrar por inducción, que la unidad prismática es $n!$ del tegmico.

El radián tegmático, que es $1/n!$ de la esférica, es ligeramente inferior al ángulo sólido del simplex de la misma dimensión.

Así que después de aproximadamente 19 dimensiones, uno ya no puede aglomerarse $n!$ simplexes en un punto.

Otro enfoque

Hay que recordar que una esfera se asienta en cualquier prisma de esferas menores. Así, por ejemplo, una esfera se asienta en un círculo-prisma (o cilindro). Esto significa que el máximo es por pasos de 2d, $\pi^{n/2}$ . Pero esto es un máximo. La esfera en cuatro dimensiones, ocupa sólo la mitad de este espacio (es decir $\pi^2/2$ ). Si suponemos que no $\pi$ en el numerador, pero $2\pi$ , entonces el divisor corresponde a $n$ : el ámbito de $2\pi$ es $1/n$ del cilindro formado por un círculo, y una esfera N-2, lo que lleva a los reslutados de arriba. En general, para las dimensiones pares, se podría escribir como $\pi^{n/2}/(n/2)!$ y con las dimensiones impar, esta relación se utiliza para establecer eg $(1/2)!$ para que $2 = \pi^{1/2}/(1/2)!$ , da $(1/2)! = \pi^{1/2}/2$ .