Encontrar todos los $n$ que $2^n+3^n+6^n$ es un cuadrado perfecto. No tengo una idea concreta cómo resolver esta
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wujj123456
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Si $2^n+3^n+6^n=x^2$ para algún entero positivo $x$, entonces sabemos que a partir de un comentario por user236182 que $n=2k$ para algún entero positivo $k$. Por lo tanto, $$\left(x-2^k\right)\left(x+2^k\right)=3^{2k}\left(1+2^{2k}\right)\,.$$ Desde $x$ es, obviamente, impar, $\gcd\left(x-2^k,x+2^k\right)=1$, lo $3^{2k}$ divide cualquiera de las $x-2^k$ o $x+2^k$. Sin embargo, $3^{2k}>1+2^{2k}$ implica que el $x+2^k=m\cdot 3^{2k}$ para algún entero positivo $m$. Si $m\geq 2$, luego $$2x=\left(x+2^k\right)+\left(x-2^k\right)>x+2^k=m\cdot 3^{2k}\geq 2\cdot 3^{2k}$$ leads to $x>3^{2k}$. Therefore, $$9^{2k}<x^2=2^{2k}+3^{2k}+6^{2k}<9^{2k}\,,$$ lo cual es absurdo. Por lo tanto, $m=1$. Es decir,$x+2^k=3^{2k}$$x-2^k=1+2^{2k}$. Por lo tanto, $$3^{2k}=x+2^k=\left(1+2^k+2^{2k}\right)+2^{k}=1+2^{k+1}+2^{2k}\,.$$ If $k>1$, then $1+2^{k+1}+2^{2k}<3^{2k}$, which is a contradiction. Hence, $k=1$, or $n=2$, is the only possible solution. As $n=2$ yields $x=7$, hemos terminado.
Roger Hoover
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Si $n$ es impar, a continuación,$2^n+3^n+6^n\equiv -1\pmod{3}$, lo $2^n+3^n+6^n$ no puede ser un cuadrado.
Por razones similares $\!\!\pmod{5}$, $n$ tiene que ser un número de la forma $4k+2$.
Por razones similares $\!\!\pmod{7}$, $n$ tiene que ser un número de la forma $12k\pm 2$, lo $2^n+3^n+6^n$ es un múltiplo de $7$. $n=2$ da la solución: $$ 2^2+3^2+6^2 = 7^2. $$ Vamos que establezca $a_n=2^n+3^n+6^n$$\nu_7(m)=\max\{n\in\mathbb{N}:7^n\mid m\}$.
Desde $\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{36}=\frac{7}{18}$ si $n=12k-2$$\nu_7(a_n)\equiv 1\pmod{2}$, lo $a_n$ no puede ser un cuadrado y es suficiente para estudiar el caso de $n=12k+2$ y la secuencia dada por $b_n=a_{12n+2}$.
Mi apuesta ahora está en una cierta variación de Zsigmondy del teorema. Evidencia numérica da que todos los $b_n$$n>0$, tiene un gran divisor primo que aparece con multiplicidad uno. Si logramos demostrar que la última afirmación, tenemos que la solución anterior ($n=2$) es el único.
