¿Cómo encontrar el centro de un arco dado el punto inicial, el punto final, el radio y la dirección del arco?

Question

Dado un arco arbitrario, del que se conocen los siguientes valores: punto inicial $(x_0, y_0)$ punto final $(x_1, y_1)$ , radio ( $r$ ) y la dirección del arco (por ejemplo, en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario desde el principio hasta el final), ¿cómo puedo calcular el centro del arco? Sé que a partir de esta entrada anterior (¡gracias!) que el centro se encuentra en la bisectriz perpendicular entre los dos puntos, pero no sé cómo calcularlo.

Gracias.

Answer 1

No escriba demasiadas ecuaciones para resolver, pero produzca el centro deseado ${\bf c}=(a,b)$ en un movimiento hacia adelante en su lugar. Deja que ${\bf z}_i=(x_i,y_i)$ $\ (i=0,1)$ sean los dos puntos dados, ponga $\epsilon:=1$ si el arco debe ir de ${\bf z}_0$ a ${\bf z}_1$ en sentido contrario a las agujas del reloj, y poner $\epsilon:=-1$ de lo contrario.

A continuación, dejemos que $d:=|{\bf z_1}-{\bf z_0}|=\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}$ sea la distancia y ${\bf m}:=\bigl({x_0+x_1 \over2}, {y_0+y_1\over2}\bigr)$ sea el punto medio de ${\bf z_0}$ y ${\bf z_1}$ . Entonces

$${\bf n}:=(u,v):=\Bigl({x_1-x_0\over d},{y_1-y_0\over d}\Bigr)$$

es la normal unitaria en la dirección ${\bf z_1}-{\bf z}_0$ y ${\bf n}^*:=(-v,u)$ es el vector unitario que se obtiene al girar ${\bf n}$ en sentido contrario a las agujas del reloj por $90^\circ$ .

Dado $r>0$ el centro ${\bf c}$ tiene una distancia $h:=\sqrt{r^2 -d^2/4}$ de ${\bf m}$ y el $\epsilon$ junto con ${\bf n}^*$ nos diga en qué dirección debemos ir. En notación vectorial el centro viene dado por

$${\bf c}\ =\ {\bf m}+\epsilon\ h\ {\bf n}^*\ ,$$

de modo que, por coordenadas, obtenemos

$$a={x_0+x_1 \over2}-\epsilon\ h\ v, \qquad b={y_0+y_1 \over2}+\epsilon\ h\ u\ .$$

Answer 2

Para ser explícito, sus ecuaciones son,

$$r^2=(x-x_0)^2+(y-y_0)^2 \\ r^2=(x-x_1)^2+(y-y_1)^2$$

Al restarlas se obtiene la línea bisectriz:

$$0=2x(x_1-x_0)+x_0^2-x_1^2+2y(y_1-y_0)+y_0^2-y_1^2$$

Puedes resolver dos de ellos simultáneamente para obtener los dos centros candidatos.

Answer 3

Intentemos un enfoque geométrico:

Nos dan los puntos $A$ y $B$ en el círculo y el radio $r$ del círculo.

Lo haré para un caso concreto:

Supongamos que $A$ y $B$ están en el primer cuadrante con $A$ "a la izquierda y arriba" $B$ .

Dejemos que $D$ sea el punto medio del segmento de línea $\overline{AB}$ y establecer $\gamma$ igual al ángulo agudo formado por $\overline{AB}$ y la línea horizontal $l$ a través de $A$ .

Dejemos que $V=\overline{DC}$ donde $C$ es el centro del círculo.

Entonces:

1) La longitud de $V$ es $\sqrt{r^2-{{|\overline{AB}|^2\over 4 }}}$ .

2) El ángulo agudo formado por la línea horizontal que pasa por $D$ y $\overline{DC}$ es ${\pi\over 2}-\gamma$ .

Como se pueden calcular las coordenadas de $D$ y $\gamma$ a partir de las coordenadas de $A$ y $B$ se pueden encontrar las coordenadas de $C$ utilizando la información de 1) y 2).

Answer 4

Aunque la dirección del arco esté definida (en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario), generalmente hay dos soluciones posibles, porque el ángulo del radio puede ser menor o mayor que $\pi$ . Permítanme mostrarles el método del vector plano:

Dado el punto de partida $A(x_0,y_0)$ y el punto final $B(x_1,y_1)$ , dejemos que $|\vec{AB}|=2l$ Así que $l=\frac{\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}}{2}$ . Sea el punto medio de $AB$ es el punto $M$ conocemos el punto central $O$ está sujeta a $OM\perp AB$ y $|\vec{AM}|=l,|\vec{MO}|=\sqrt{r^2-l^2}$ .

Ahora, $\vec{AM}=(\frac{x_1-x_0}{2}+i(\frac{y_1-y_0}{2}))$ , ya que $OM\perp AB$ obtenemos $\vec{MO}=\frac{|\vec{MO}|}{|\vec{AM}|}\cdot\vec{AM}\times (cos\theta+i\cdot sin\theta)$ , donde $\theta=\frac{\pi}{2}$ o $\theta=-\frac{\pi}{2}$ dependiendo del sentido de giro del arco y de si el ángulo del radio es inferior a $\pi$ .

Caso 1: $\theta=\frac{\pi}{2}$ . obtenemos $\vec{MO}=\frac{\sqrt{r^2-l^2}}{l}\cdot[(-\frac{y_1-y_0}{2})+i(\frac{x_1-x_0}{2})]$ . Desde $\vec{MO}=(x-\frac{x_0+x_1}{2})+i(y-\frac{y_0+y_1}{2})$ comparando la parte real y la imaginaria, sabemos que $x=\frac{x_0+x_1}{2}-\frac{(y_1-y_0)\sqrt{r^2-l^2}}{2l}$ y $y=\frac{y_0+y_1}{2}+\frac{(x_1-x_0)\sqrt{r^2-l^2}}{2l}$ .

Caso 2: $\theta=-\frac{\pi}{2}$ .obtenemos $\vec{MO}=\frac{\sqrt{r^2-l^2}}{l}\cdot[(\frac{y_1-y_0}{2})-i(\frac{x_1-x_0}{2})]$ . Comparando de nuevo, sabemos que $x=\frac{x_0+x_1}{2}+\frac{(y_1-y_0)\sqrt{r^2-l^2}}{2l}$ y $y=\frac{y_0+y_1}{2}-\frac{(x_1-x_0)\sqrt{r^2-l^2}}{2l}$ .

Cuando debe $\theta$ sea $\frac{\pi}{2}$ o $-\frac{\pi}{2}$ ?

Dibujando un círculo y observando los diferentes casos, es fácil saberlo: $counter-clockwise\ and\ radius\ angle\ is \gt\pi: \theta=-\frac{\pi}{2}$ .

$counter-clockwise\ and\ radius\ angle\ is \lt\pi: \theta=\frac{\pi}{2}$ .

$clockwise\ and\ radius\ angle\ is \gt\pi: \theta=\frac{\pi}{2}$ .

$clockwise\ and\ radius\ angle\ is \lt\pi: \theta=-\frac{\pi}{2}$ .

Además, se puede ver que no hay solución cuando $r\lt l$ y sólo hay una solución cuando $l=r$ .

Answer 5

Dejemos que $(x,y)$ sea el centro del arco. Para $i=1,2$ escriba la ecuación $$ \text{distance from $ (x,y) $ to $ (x_i,y_i) $}=r. $$ Se obtiene un sistema de dos ecuaciones cuadráticas en las dos incógnitas $x$ y $y$ . Resuélvelo para encontrar dos soluciones, cada una en un lado diferente del segmento de $(x_1,y_1)$ a $(x_2,y_2)$ . Elige el que corresponde a la dirección del arco.