¿$\mathbb Z[i]/n\mathbb Z[i]$ Es un dominio integral?

Question

Estoy dudosa con el siguiente intento que hice.

• Yo creo que todas las 4 opciones son correctas: basta mostrar $n\mathbb Z[i]$ es un primer ideal de $\mathbb Z[i]$ si $n$ es primo. Ahora $(n)=n\mathbb Z[i].$ $n$ es el primer elemento de $n\mathbb Z[i]\implies(n)$ es un primer ideal de $\mathbb Z[i].$

  Deje $n$ ser una de las primeras entero. Por supuesto, a continuación, $n$ es distinto de cero y no de la unidad. Deje $n|(a+ib)(c+id).$ Que $n|(ac-bd)+i(ad+bc)\\\implies\dfrac{ac-bd}{n},\dfrac{ad+bc}{n}\in\mathbb Z\\\implies n|ac,bd,ad,bc\\\implies n|\{a~or~c\}~and~\{b~or~d\}~and~\{a~or~d\}~and~\{b~or~c\}\\\implies n\text{ divides at least $3$ of }a,b,c,d.$

  WLG deje $n|a,b\implies n|a+ib.$

Es mi intento de corregir?

Answer 1

El teorema siguiente es bien conocido (véase un libro sobre teoría del número algébrico)

Teorema: Dejado $p$ ser un primo racional (es decir, un primer en $\mathbb Z$). Entonces, $p$ es un prime en el % de números enteros Gaussian $\mathbb Z[i]$si y sólo si $p\equiv 3 \pmod 4$.

Desde $\mathbb Z[i]/n \mathbb Z[i]$ es un dominio integral si y solamente si es de $n$ prime en $\mathbb Z[i]$, se deduce que $(3)$ y $(4)$ son correctas.

Answer 2

Dices que #% el $n$prime $\implies (n)$es un primer ideal en $\mathbb{Z}[i]$. Consideremos $(5)$.

Claramente, $5$ es primo. $(5) = (2+i)(2-i)$, Y así $(5)$ no es un primo gaussiano.

Le animo a rastrear su prueba sobre este ejemplo y ver donde va mal.