La clase de subconjuntos compactos no vacíos de un espacio métrico compacto es compacta

Question

Esta es una pregunta de mi tarea para un curso de análisis real. Por favor, sólo una pista.

Dejemos que $M$ sea un espacio métrico compacto. Sea $\mathbb{K}$ sea la clase de subconjuntos compactos no vacíos de $M$ . El $r$ -Vecino de $A \in \mathbb{K}$ es

$$ M_r A = \lbrace x \in M : \exists a \in A \text{ and } d(x,a) < r \rbrace = \bigcup_{a \in A} M_r a. $$

Para $A$ , $B \in \mathbb{K}$ definir

$$D(A,B) = \inf \lbrace r > 0 : A \subset M_r B \text{ and } B \subset M_r A \rbrace. $$

Demostrar que $\mathbb{K}$ es compacto.

(Otra parte de la cuestión es que si $M$ está conectado, entonces también lo está $\mathbb{K}$ pero no se asigna).

Muchas gracias.

Answer 1

Probablemente sea más fácil apelar al Teorema de Heine-Borel

Paso (1): Demostrar que $D$ es una métrica en $\mathbb{K}$ .

Ahora que $(\mathbb{K},D)$ es un espacio métrico, por el teorema de Heine-Borel, basta con demostrar que es completo y totalmente acotado.

Paso (2): Dejemos que $A_i$ sea una secuencia de Cauchy en $\mathbb{K}$ y demostrar que converge. (De hecho, se puede demostrar que mientras $M$ es un espacio métrico completo, entonces también lo es $\mathbb{K}$ con la métrica que acabas de escribir).

Paso (3): Demostrar que para cada $\epsilon > 0$ existe una cubierta abierta finita de $\mathbb{K}$ por $\epsilon$ -bolas. (De hecho, mientras $M$ está totalmente acotado, por lo que $\mathbb{K}$ .)

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El paso (1) es obvio, así que no daré ninguna pista.

Para el paso (2), dejemos que $A_i$ sea su secuencia de Cauchy. Considere el conjunto $A$ de puntos $a$ tal que para cualquier $\epsilon > 0$ , $B(a,\epsilon)$ intercepta todos los puntos, excepto un número finito de $A_i$ .

Para el paso (3), comience con una cubierta finita de $M$ por $\epsilon$ bolas, que $S$ sea el conjunto de los puntos centrales de esas bolas. Consideremos el conjunto de potencias $P(S)$ (el conjunto de todos los subconjuntos de $S$ ) como un conjunto de puntos en $\mathbb{K}$ .

Answer 2

Pistas:

1. Basta con demostrar que $\mathbb{K}$ es completa y totalmente acotada.
2. Por cada $\varepsilon > 0$ hay una constante $C(\varepsilon)$ de manera que cada $K \in \mathbb{K}$ puede ser cubierto por un máximo de $C(\varepsilon)$ bolas de radio $\varepsilon$ alrededor de puntos en $K$ . Para ver esto, cubra $M$ con un número finito de bolas de radio $\varepsilon/2$ , dejemos que $K \in \mathbb{K}$ sea arbitrario y elija $x_{n}$ en la intersección de $K$ con aquellas bolas que se cruzan $K$ . Las bolas con radio $\varepsilon$ alrededor de estas bolas cubrirá $K$ .
3. Dada una secuencia de Cauchy en $\mathbb{K}$ y demostrar que converge (¡no es necesario que sea compacto!).

Answer 3

Como dato adicional (no le sugiero que lo pruebe de esta manera): este $\mathbb{K}$ es sólo el llamado hiperespacio de $M$ , también denotado como $H(M)$ (todos los conjuntos cerrados no vacíos de $M$ en general), y una descripción alternativa, no métrica, de su topología es describir una subbase para ella, consistente en todos los $[U] = \{A \in \mathbb{K}:\, A \cap U \neq \emptyset \}$ y $<U> = \{ A \in \mathbb{K}:\, A \subset U \}$ , donde $U$ abarca todos los subconjuntos no vacíos de $M$ . Si $M$ es compacto por lo que es $H(M)$ por una simple aplicación del lema de la subbase de Alexander. Esta es una forma topológica más general de ver este espacio (es un teorema que para espacios métricos compactos $M$ el espacio $H(M)$ es también metrizable compacta, y una de las métricas es la descrita en la pregunta).

Answer 4

Es necesario demostrar que cada tapa abierta de $\mathbb{K}$ tiene una subcubierta finita. Así que parece que $M_{r}(A)$ es una cubierta abierta de $A$ .