Una ecuación funcional elemental: $f\big(x+f(x)\big)=f(x)$

Question

Estoy encontrando esta ecuación funcional de un pasado concurso de matemáticas del instituto bastante complicada.

Encontrar todas las funciones continuas $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^+$ tal que:

$f\big(x+f(x)\big)=f(x)\quad \forall x\in\mathbb{R}$

y

$f(2012)=2012$ .

(Hay que demostrar que la solución constante trivial es la única solución).

Answer 1

Por inducción, $f(x+nf(x))=f(x)$ . Por lo tanto, como usted observa, cada $x+nf(x)$ es inyectiva, ya que $$x+nf(x)=y+nf(y) \implies f(\cdots)=f(\cdots) \implies f(x) = f(y) \implies x + \cdot = y + \cdot$$ y, por lo tanto, monótonamente creciente, ya que $x+nf(x)\to\infty$ como $x\to\infty$ .

Ahora para $x<y$ tenemos $x+nf(x)<y+nf(y)$ para todos $n$ y así $f(y)-f(x)\ge0$ .

Pero $f(x+nf(x))=f(x)$ et $f(x)>0$ implica que para todo $x$ existen puntos arbitrariamente alejados que toman la misma $f$ y, por tanto, como $f$ es no decreciente, $f$ debe ser constante.