¿Para un determinado grupo finito G, hay una cubierta de P ^ 1 sobre s.t. Q encima C lo ' s G-Galois?

Question

Para cualquier grupo finito G, podemos encontrar una cubierta de ℙ¹_ℂ que es el G-Galois. El regular inversa Galois problema es equivalente a que exista tal cobertura que desciende con la acción a ℚ. Mi pregunta es acerca de los más fáciles de problema: dado un grupo finito G, podemos encontrar una cubierta de ℙ¹_ℂ que desciende a ℚ como una mera cubierta (es decir, no necesariamente con el grupo de acción)?

A partir de los resultados que sé, yo estaría muy sorprendido si esto se soluciona. Pero, ¿qué se sabe? Y dónde está escrito?

Answer 1

Yo no sé acerca de cada grupo finito $G$ (creo que no), pero definitivamente hay infinitamente muchos grupos finitos $G$ para que la situación que usted describe obtiene: la extensión de $K/\mathbb{C}(t)$ tiene un modelo de más de $\mathbb{Q}$ pero no es Galois sobre $\mathbb{Q}$. (Y para la mayoría de estos grupos, no sabemos cómo darse cuenta de ellos como grupos de Galois sobre $\mathbb{Q}$, regular o de lo contrario.)

Por ejemplo, esta es la situación en un trabajo en progreso de John Voight y a mí:

http://math.uga.edu/~pete/triángulo-091309.pdf

En nuestro ligeramente diferente idioma, hay un montón de situaciones en las que la recubre se define sobre$\mathbb{Q}$, pero el campo de la definición de la automorphism grupo $G$ es estrictamente mayor. (Esto es equivalente a lo que estás preguntando, ¿verdad? Por favor, hágamelo saber.)

[Advertencia: recientemente, con la ayuda de Noam Elkies, Juan y me di cuenta de que nuestros argumentos, como se da sólo funciona cuando (en nuestra notación) $a = 2$. Esto todavía es una generalización de la configuración en la que empecé este trabajo hace algunos años: tuve $a = 2$, $b = 3$, así que estoy seguro de que hay infinidad de ejemplos de este formulario.]