Probar cualquier $1^a+2^a+\cdots+n^a < \frac{(n+1)^{(a+1)}-1}{a+1} $ $a >0$ y $n \in \mathbb{Z^+}$

Question

Probar cualquier $a >0$ y $n \in \mathbb{Z^+} $

$$1^a+2^a+\cdots+n^a < \frac{(n+1)^{(a+1)}-1}{a+1}$$

También para $a \in (-1,0)$ la desigualdad anterior se invierte.

$n=1, 2^{(a+1)}-1 > (a+1)$ Es cierto

Vamos a suponer que el resultado es true $n=m$, es decir

$$1^a+2^a+\cdots+m^a < \frac{(m+1)^{(a+1)}-1}{a+1}$$

Ahora

$$1^a+2^a+\cdots+m^a + (m+1)^a < \frac{(m+1)^{(a+1)}-1}{a+1} + (m+1)^a $$

$$ < \frac{(m+1)^a (m+1+a) + (m+1)^a -1}{a+1} $$

Creo que estoy haciendo progreso hasta el momento, ahora ¿qué?

Answer 1

$$\sum_{k=1}^{n} k^a \lt \int_{1}^{n+1} x^a \text{ d}x = \frac{(n+1)^{a+1} - 1}{a+1}$$