encontrar siete disjuntos siete subconjuntos del elemento de {1,2,..., 49} con la misma suma

Question

Tengo un sistema que contiene números $1$ a $49$ $\{1,2,3, \cdots, 49\}$.

Ahora, quiero dividir el conjunto en $7$ subconjuntos tales que cada subconjunto debe contener elementos de $7$ y suma de los elementos de cada subconjunto debe ser $175$.

¿Es posible demostrar que existen tales subconjuntos?

Answer 1

Búsqueda de cuadrados mágicos.

que tiene las siguientes:

22  47  16  41  10  35  4
5    23  48  17  42  11  29
30  6   24  49  18  36  12
13  31  7   25  43  19  37
38  14  32  1   26  44  20
21  39  8   33  2   27  45
46  15  40  9   34  3   28

Answer 2

Los cuadrados mágicos son bellas, pero aquí cualquier 7x7 cuadrado latino obras. Una $n\times n$ latina es un cuadrado con la propiedad de que todos los enteros $1\ldots n$ aparece exactamente una vez en cada fila y columna. Hay varias maneras de construir estos. Al $n=7$ tenemos por ejemplo los siguientes $$ \begin{array}{ccccccc} 1&2&3&4&5&6&7\\ 7&1&2&3&4&5&6\\ 6&7&1&2&3&4&5\\ 5&6&7&1&2&3&4\\ 4&5&6&7&1&2&3\\ 3&4&5&6&7&1&2\\ 2&3&4&5&6&7&1\\ \end{array} $$

Dado un $n\times n$ de los cuadrados latinos podemos construir una solución a este problema (o su generalización de la partición de los números enteros $\{1,2,\ldots,n^2\}$ a $n$ igual la suma de los grupos de $n$ cada uno) como sigue.

Agregar $n(i-1)$ a todas las entradas de la fila $\#i$. Después de que la suma de las entradas en cualquier columna es igual a $\sum_{i=1}^ni+ n\left(\sum_{i=1}^{n}(i-1)\right)$, lo cual es manifiestamente independiente de la columna. Además, el entero $n(i-1)+j$, $1\le i,j\le n$, sólo puede aparecer en la fila $\#i$, y produce allí exactamente una vez (wherevere la entrada de $j$ de la fila del cuadrado latino reside). El de arriba 7x7 cuadrado latino que da lugar a los grupos de $$\{1,7+7=14,6+14=20,5+21=26,4+28=32,3+35=38,2+42=44\}$$ from the first column, $\{2,8,21,27,33,39,45\}$ from the second, $\{3,9,15,28,34,40,46\}$ a partir de la tercera columna, y así sucesivamente.

También es posible construir cuadrados mágicos de los cuadrados latinos, pero entonces usted necesita más ricos de la estructura. Se necesitan dos llamados mutuamente ortogonal cuadrados latinos (=MOLES).