Me gustaría saber cómo explícitamente demostrar que la Curvatura de Riemann,la Curvatura de Ricci, de la sección Transversal y la Curvatura Escalar de Curvatura se dejan invariante bajo una isometría.
Yo no puedo ver esta explicado en la mayoría de los libros que he mirado. Que atmost explicar la preservación de la conexión.
Supongo que haciendo explícita la prueba de la seccional de curvatura debe ser suficiente (y más fácil?) ya que todo el resto puede ser escrito en términos de la misma.
Dado Akhil la respuesta yo creo que debe tratar de entender la conexión de la invariancia de la prueba mejor y aquí va mi parcial intento.
Deje $\nabla$ ser la conexión en el colector $(M,g)$ $\nabla '$ ser la de Riemann de conexión en el colector $(M',g')$ y entre los dos vamos a $\phi$ ser la isometría. Entonces uno quiere mostrar dos cosas,
- $D\phi [\nabla _ X Y] = \nabla ' _{D\phi[X]} D\phi [Y]$
- $R(X,Y)Z = R'(D\phi [X],D\phi [Y]) D\phi [Z]$
Donde $R$ $R'$ son de Riemann de conexión en $(M,g)$ $(M',g')$ respectivamente.
Uno se define el mapa $\nabla ''$ M que los mapas de dos campos vectoriales en M a otro campo vectorial usando $\nabla '' _X Y = D\phi ^{-1} (\nabla' _{D\phi[X]} D\phi [Y]$. Por la singularidad de la de Riemann de conexión de la prueba es completa si se puede demostrar que esta $\nabla ''$ satisface todas las condiciones de ser una de Riemann de conexión en M.
Estoy pegado después de unos pocos pasos, mientras que tratando de mostrar la Lebnitz propiedad de $\nabla ''$. Deje $f$ ser algo de suave función de M y, a continuación, a uno le gustaría mostrar que, $\nabla '' _X fY = X(f)Y + f\nabla '' _X Y$ que es equivalente a demostrar que, $D\phi ^{-1} (\nabla' _{D\phi[X]} D\phi [fY]) = X(f) + f D\phi ^{-1} (\nabla' _{D\phi[X]} D\phi [Y])$ saber que $\nabla '$ satisface el Leibniz de la propiedad en $M'$.
De alguna forma, yo no estoy siendo capaz de desdoblar el anterior para demostrar esto. Puedo obtener el segundo término de la ecuación, pero no la primera.
Demostrando la simetría de $\nabla ''$ es fácil, pero de nuevo demostrando métrica de compatibilidad está atascado para mí. Si $X,Y,Z$ 3 campos vectoriales en M, entonces a uno le quiere demostrar que,
$Xg(Y,Z) = g(\nabla ''_X Y,Z) + g(Y, \nabla '' _X Z)$
que es equivalente a demostrar que,
$Xg(Y,Z) = g(D\phi ^{-1} (\nabla' _{D\phi[X]} D\phi [Y]),Z) + g(Y,D\phi ^{-1} (\nabla' _{D\phi[X]} D\phi [Z]) )$
sabiendo que $\nabla'$ satisface métrica de compatibilidad de la ecuación de $M'$
Sería de gran ayuda si alguien me puede ayudar a llenar los pasos.
Entonces uno se queda con demostrar que la curvatura endomorfismo ecuación.
