El Supremum y funciones acotadas

Question

Estoy tratando de demostrar que esto es cierto:

Deje $X$ ser un conjunto y supongamos $f$ $g$ están delimitadas (valor real) de las funciones definidas en $X$. A continuación,

$$ \sup_{x \in X}|f(x)g(x)| \leq \sup_{x \in X}|f(x)|\sup_{x \in X}|g(x)| $$

Creo que estoy bastante cerca, pero no estoy seguro acerca el último paso. En primer lugar, desde $f$ $g$ son acotados, todos los involucrados suprema existen y son finitos. Si $a = \sup|f(x)|$ $b = \sup|f(x)|$ entonces es cierto que $$ a \geq |f(x)| \;\;\;\;\;\; b \geq |g(x)| $$ para cada $x \in X$. Ya que ninguna de las cantidades involucradas son negativos, esto implica $$ una b \geq |f(x)|\cdot |g(x)| \implica \sup|f(x)|\sup|g(x)| \geq |f(x)|\cdot |g(x)| $$

Puedo decir ahora que, dado que esta última desigualdad se cumple para todos los $x$ que $$ \sup_{x \in X}|f(x)g(x)| = \sup_{x \in X} \left(|f(x)|\cdot |g(x)|\right) \leq \sup_{x \in X}|f(x)|\sup_{x \in X}|g(x)|? $$

Gracias.

Answer 1

Poner $M = \sup_x |f(x)|$. Entonces %#% $ #% puesto que esto sostiene para todas las $$ |f(x)g(x)| \le M |g(x)| \le M \sup_x |g(x)|.$ tenemos $x$ $

Answer 2

Esto está relacionado con esta respuesta. Esto puede ser demostrado por la toma de las $\log$ de ambos lados y la aplicación de ese resultado. Aquí repito que el argumento de la refundición de los productos.

$$ \sup_{x\in A}(|f(x)g(x)|)\le\sup_{x\in A}|f(x)|\sup_{x\in A}|g(x)|\etiqueta{1} $$

$(1)$ es un ejemplo del hecho de que el supremum a través de un conjunto no es más pequeña que el supremum más de un subconjunto. El lado izquierdo de $(1)$ es $$ \sup_{\substack{x,y\in A\\x=y}}(|f(x)|\,|f(y)|)\etiqueta{2} $$ mientras que el lado derecho de la $(1)$ es $$ \sup_{x,y\in A}(|f(x)|\,|f(y)|)\etiqueta{3} $$ El conjunto de $x$ $y$ siendo considerado en $(2)$ es un subconjunto de la $x$ $y$ siendo considerado en $(3)$, lo $(1)$ sigue.