Ejemplos útiles de funciones patológicas

Question

¿Cuáles son algunas funciones particularmente bien sabidos que exhiben comportamiento patológico en o cerca de algún valor y son particularmente útiles como ejemplos?

Por ejemplo, si existe $f'(a) = b$, entonces el $f(a)$, $f$ es continua en $a$, es diferenciable en $f$ $a$, pero no es necesario continua en $f'$ $a$. Una función para la cual esto es cierto es $f(x) = x^2 \sin(1/x)$ $x=0$.

Answer 1

Aquí es un ejemplo de una función estrictamente creciente en r que es continua exactamente en los irrationals.

Escoge tu favorita serie absolutamente convergente ∑a_n en la que todos los términos son positivos (el mío es ∑1/2ⁿ) y su favorito enumeración de los racionales: Q = {q₁, q₂,...}. Define un número real x, f (x) para ser la suma de todos los_n que q_n ≤ x.

Answer 2

$\displaystyle\frac{\sin(x)}{x}$ es útil; tiene una singularidad en $x=0$, pero si usted toma la Unión de $\displaystyle y=\frac{\sin(x)}{x}$ con el punto $(x=0,y=1)$ entonces $\text{sinc}(x/\pi)$. La $\text{sinc}$ función tiene un montón de aplicaciones en procesamiento de señales y la difracción.

Answer 3

El Cauchy funcionales, los cuales satisfacen la ecuación muy simple f(a+b) = f(a)+f(b) para todo real a,b. Estos son una línea a través del origen (el "bueno") o "feo" de las funciones que son discontinuos y sin límites en cada intervalo. Estos últimos son posibles debido a que el Axioma de Elección implica (en realidad es equivalente a) que de infinitas dimensiones espacios vectoriales tienen bases; es decir, los reales sobre los racionales tienen una base de Hamel. Una gran explicación de todo esto (incluyendo el bonito/feo terminología) es en Horst Herrlich la monografía de El Axioma de Elección.

Answer 4

Tres ejemplos bastan para mostrar por qué algunos modos de convergencia no implican otros modos de convergencia: convergencia de pointwise, Lp norma convergencia, convergencia en medida, etc.. Consulte la sección de contraejemplos aquí.

Answer 5

(1/x)^(1/x). Trate de graficar si te atreves (incluyendo los negativos)