$F[[T]] \times F[[1/T]]$, dominio fundamental.

Question

Que $p$ ser un número primo. Aquí hay un link que enseña a ver que $$(\mathbb{F}_p((T)) \times \mathbb{F}_p((1/T)))/\mathbb{F}_p[T, 1/T]$$is compact using an adelic result. (Here $ \mathbb{F}_p[T, 1/T] $ is embedded in $\mathbb{F}_p((T)) \times \mathbb{F}_p((1/T))$ diagonalmente.) Mi pregunta es, ¿alguien sabe de una manera más elemental de muestra esto mediante Dominios fundamentales?

Answer 1

$\newcommand{\FF}{\mathbb{F}}$ Dado $a=\sum_{k} a_k T^k \in \FF_p((T))$ y $b = \sum_{r} b_r T^{-r}\in \FF_p((1/T))$, hay un único elemento $c=\sum_{n}c_k T^k \in \FF_p[T,1/T]$ tal que $a_k - c_k =0$ $k < 0$ y $b_r - c_{-r}= 0$ $r \leq 0$. Esto hace posible identificar el cociente con $\prod_{n\in \mathbb{Z}} \FF_p$ enviando $(a,b)$ $(a_n - b_{-n})_n$. Este producto infinito es compacto por Teorema de Tychonoff.

Un dominio fundamental consiste en $(a,b)$ $a_k = 0$ $k<0$ y $b_r = 0$ $r \leq 0$, $\FF_p[[T]] \times (1/T)\FF_p[[1/T]]$