Prueba de que una secuencia converge a un límite finito iff lim inf es igual a lim sup

Question

Este problema es puramente para mi propio beneficio, así que apreciaría si usted ofrece ayuda pero no arruinar la prueba para mí. He trabajado a cabo la siguiente solución, pero quiero asegurarme de que mi razonamiento no tiene agujeros en ella:

Supongamos que tenemos la secuencia de $\{a_n\}$, e $\lim_{n \rightarrow \infty}\{a_n\}=L$. Luego se le da $\epsilon>0$, se puede elegir $N \in \mathbb{N}$ tal que $$\left| a_n-L \right|<\frac{\epsilon}{2}$$ para cada plazo $a_n \in \{a_n\}$ tal que $n>N$. Ahora para $\inf_{n>N}\{a_n\}$, (que es, a mi entender, el infimum de la secuencia con los N primeros términos trunca) debemos tener algunas $a_{low} \in \{a_n|n>N\}$ tal que $$a_{low}-\inf_{n>N}\{a_n\}<\frac{\epsilon}{2}$$ porque de lo contrario $\inf_{n>N}\{a_n\}-\frac{\epsilon}{2}$ sería un mayor límite inferior de $\{a_n|n>N\}$. Razonamiento Similar muestra que debemos tener algunas $a_{high}$ tal que $$\sup_{n>N}\{a_n\}-a_{high}<\frac{\epsilon}{2}$$ Ahora desde $a_{high} \in \{a_n|n>N\}$, debemos tener $$-\epsilon<a_{high}-L<\epsilon$$ y, la adición de esta desigualdad a la de arriba le da $$-\epsilon<\sup_{n>N}\{a_n\}-L<\epsilon$$ para $n>N$, y por lo tanto $\lim_{N \rightarrow \infty}\sup_{n>N}\{a_n\}=L$. Asimismo, a partir de $a_{low} \in \{a_n|n>N\}$ debemos tener $$\left|a_{low}-L\right|=\left|L-a_{low}\right|<\frac{\epsilon}{2}$$ Así $$-\frac{\epsilon}{2}<L-a_{low}<\frac{\epsilon}{2}$$ y añadiendo esto le da a la segunda desigualdad da $$-\epsilon<L-\inf_{n>N}\{a_n\}<\epsilon$$ para $n>N$. Así que tenemos $\lim_{N \rightarrow \infty}\inf_{n>N}\{a_n\}=\lim_{N \rightarrow \infty}\sup_{n>N}\{a_n\}=L$. Ahora, por el contrario suponer que $\lim \inf=\lim \sup$. Tenemos $$\inf_{n>N}\{a_n\} \leq a_n \leq \sup_{n>N}\{a_n\}$$ para $a_n \in \{a_n|n>N\}$. Desde los límites de los lados izquierdo y derecho de la desigualdad son iguales, el límite de la media existe y es igual a la de los otros dos por el teorema del sándwich (sólo he visto el teorema del sándwich probado para las funciones, pero creo que también se aplica aquí, ya que las secuencias son solo funciones con dominios en los naturales). Por lo tanto, la secuencia de $\{a_n\}$ converge iff su $\lim \inf$ es igual a su $\lim \sup$ (y, como corolario, el límite de la secuencia siempre es igual a la de la infima y suprema).

Por favor, dígame si usted ve los agujeros o las cosas que podría haber hecho mejor, como he hecho muchos errores estúpidos en las pruebas de antes. Gracias por su ayuda!

Answer 1

Lo siento, no realmente seguir su argumento. Así que voy a dejar que los demás te digan si está bien. Aquí es cómo yo iba a hacer esto.

Deje $(x_n)$ ser un almacén de secuencia en $\mathbb{R}$.

Entonces el conjunto $C$ todos los límites de la convergencia de las subsecuencias es no vacío y $$ C\subseteq [\liminf x_n,\limsup x_n]. $$

Si $\liminf x_n=\limsup x_n$, se deduce que $$ C=\{x\}. $$ En otras palabras, cada convergentes larga de $(x_n)$ converge a la misma $x$.

Supongamos ahora que $x_n$ no converge a $x$, y la construcción de un larga que converge a un punto distinto de $x$.

Answer 2

Para responder directamente a su pregunta. La prueba de que $\ell =\limsup=\liminf\implies \lim a_n=\ell$ está bien. El teorema del sándwich se aplica a las secuencias.

Por el contrario, supongamos que $\lim a_n=\ell $ es finito. Desde $\langle a_k:k\geq n\rangle $ es acotado, $\inf$ $\sup$ existen. Como usted dice, para cada una de las $\epsilon >0$ existe un elemento $a_m$ $ \langle a_k:k\geq n\rangle $ tal que $\limsup a_n-a_m<\epsilon$. Al igual, no existe $a_w$ $ \langle a_k:k\geq n\rangle $ tal que $a_w-\liminf a_n<\epsilon$. Usted puede utilizar el triángulo de la desigualdad a la conclusión de que la $\limsup=\lim=\liminf$ señalando que el $M$ para $a_n$ cerca de a $\lim a_n$ puede ser utilizado como un "parámetro" $ \langle a_k:k\geq M\rangle $

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DSC Esta no es una respuesta, sino más bien, un largo comentario/ayuda.

Hay una interesante definición de $\limsup$ $\liminf$ puede encontrar útiles.

DEF Supongamos que tenemos una secuencia $\langle a_n\rangle$ de los números reales. Luego nos dice $\ell$ es un punto límite de $\langle a_n\rangle$ si existe alguna subsequence $\langle a_{n_k}\rangle$ $\langle a_n\rangle$ que converge a $\ell$.

DEF Deje $\langle a_k\rangle$ ser una secuencia en $\Bbb R$. Definimos para cada una de las $n\in \Bbb N$ de los asociados a las secuencias de $$\overline{a}_n=\sup \langle a_k:k\geq n\rangle$$ $$\underline{a}_n=\inf \langle a_k:k\geq n\rangle$$ and subsequently the closed intervals $$A_n=[\underline{a}_n,\overline{a}_n]$$

Observe que para cada $n$, $$A_{n+1}\subseteq A_n$$

DEF Por cada secuencia $\langle a_n\rangle$, definir la intersección $$\bigcap_{n\in \Bbb N}A_n=[\zeta,\eta]$$

O de manera más informal "$=\lim A_n$".

Observar que $$\zeta=\lim \underline{a}_n$$ and $$\eta=\lim \overline{a}_n$$ are just the $\limsup$ and $\liminf$ of $\langle a_n\rangle $.

Probar

$1.$ Si $\ell$ es un punto límite de $\langle a_n\rangle $,$\ell \in [\zeta,\eta]$.

$2.$ $\eta,\zeta$ son el límite de puntos de $\langle a_n\rangle $, por lo tanto a la conclusión de que $\eta,\zeta$ es el más pequeño y el más grande de límite de puntos de $\langle a_n\rangle $

$3.$ Observa que si $\zeta=\eta$, el intervalo degenera a un solo punto de $p=\zeta=\eta$, lo que significa que el trivial subsequence $\langle a_n\rangle $ converge a $p=\zeta=\eta$. Por el contrario, si $\lim a_n=p$, todas las subsecuencias convergen a $p$, por lo que el intervalo de $[\zeta,\eta]$ degenera el único punto de $p=\eta=\zeta$.