Encontrar el valor mínimo de $A=\frac{2-a^3}{a}+\frac{2-b^3}{b}+\frac{2-c^3}{c}$

Question

Que $a, b$ y $c$ tres positivo números verdaderos tales que $a+b+c=3$. Encontrar el valor mínimo de %#% $ #%

Aquí está mi intento. Por simetría, podemos suponer que $$A=\frac{2-a^3}{a}+\frac{2-b^3}{b}+\frac{2-c^3}{c}.$. El $a\leq b\leq c$ de la función es decreciente y convexa en $f(x)=\frac{2-x^3}{x}$. Así que si $]0,2^{1/3}]$ y $c\leq 2^{1/3}$ con la igualdad si $3f(1)=3f(\frac{a+b+c}{3})\leq f(a)+f(b)+f(c)=A$.

Si $a=b=c=1$ no veo cómo proceder.

Answer 1

Poner $S _1=a+b+c=3$, $S_2=ab+bc+ac$ y $S_3=abc$. Entonces, como ya fue notado, $A=2(\frac{S_2}{S_3}+S_2)-9$. Por desigualdad de AM-GM $2(\frac{S_2}{S_3}+S_2)\geq 4\sqrt{\frac{(S_2)^2}{S_3}}$. Pero la desigualdad de Newton dice que $(S_1/3)(S_3/1)=S_3\leq (S_2/3)^2$. Implica $A\geq 3$.

Answer 2

$\dfrac{2-a^3}{a}+\dfrac{2-b^3}{b}=\dfrac{2(a+b)}{ab}+2ab-(a+b)^2$

que $c$ % máximo $, a+b \le 2 ,x=ab \le \dfrac{(a+b)^2}{4} \le 1$, considerar $f(x)=\dfrac{a+b}{x}+x, a+b \ge 2\sqrt{ab}\ge 2ab >ab=x\ge x^2 \implies f(x)$ conseguirá minutos cuando máximo $x$.

así que $A$ conseguirá min cuando $ab=\dfrac{(a+b)^2}{4}=\dfrac{(3-c)^2}{4}$

$A \ge \dfrac{8}{3-c}-\dfrac{(3-c)^2}{2}+\dfrac{2}{c}-c^2=g(c) $

$g'(c)=(1-c)(1-\dfrac{2(c+3)}{(3-c)^2c^2}), (3-c)c \le \dfrac{(3-c+c)^2}{4}=\dfrac{9}{4}< \sqrt{2(c+3)}, g'(c)=0 $ tendrán sólo solución $c=1 $, es fácil verificar $g(1)=3$ min