Escuché que Weil probó la hipótesis de Riemann para los campos finitos. ¿Dónde puedo encontrar los detalles de la prueba? Encontré el siguiente bosquejo pero no pude llenar los detalles:
Motivación: Trato de entender la teoría elemental de los campos finitos pero no soy un experto en geometría algebraica, sería bueno obtener algunas pistas sobre qué debería estudiar antes de poder entender los esquemas tan bien que comprenda la prueba.
Deje que $C,E$ ser dos curvas suaves apropiadas sobre un campo $k$ y $f:C \to E$ un morfismo finito. Vamos a establecer $X=C \times_ { \operatorname {Spec}k}E$ . Consideremos el gráfico $ \Gamma_f\subseteq X$ de $f$ dotado de la estructura reducida del subesquema cerrado.
a) Que $p_1:X \to C$ y $p_2:X \to E$ denotan las proyecciones. Luego $p_1$ induce un isomorfismo $ \varphi : \Gamma_f\simeq C$ . Demuestra que $ \omega_ {X/K} \simeq p_1^* \omega_ {C/k} \otimes p_2^* \omega_ {E/k}$ y que $ \omega_ {X/k}|_ { \Gamma_F } \simeq \varphi ^* \omega_ {C/k} \otimes \varphi ^*f^* \omega_ {E/k}$ .
b) Mostrar que
$$ \operatorname {deg}_k \omega_ {X/k} \mid_ { \Gamma_f }=2g(C)-2+( \operatorname {deg} f)(2g(E)-2).$$
Deduce de esto que $ \Gamma_f ^2=( \operatorname {deg} f)(2-2g(E))$ .
c) Supongamos en adelante que $C=E$ . Deje que $ \Delta\subset X$ denotan la diagonal. Muestra que $ \Delta ^2=2-2g(C)$ .
d) Supongamos que $f \ne \operatorname {Id}_C$ . Deje que $x \in X(k) \cap \Delta\cap \Gamma_f $ que $y=p_1(x)$ y dejar que $t$ ser un parámetro de uniformización para $ \mathcal {O}_{C,y}$ . Demuestra que
$$i_x( \Gamma_f , \Delta )= \operatorname {length} \mathcal {O}_{C,y}/( \sigma (t)-t),$$
donde $ \sigma $ es el automorfismo de $ \mathcal {O}_{C,y}$ inducido por $f$ .
e) Tomemos un campo finito $k= \mathbb {F}_{p^r}$ de la característica $p>0$ y dejar que $f:C \to C$ ser el Frobenius $F_C^r$ . Mostrar que los divisores $ \Gamma_f , \Delta $ se encuentran transversalmente y que $ \Gamma_f\cap\Delta\subseteq X(k)$ . Deduce de esto que el cardenal $N$ de $C(k)$ está dada por $N= \Gamma_f\cdot \Delta $ .
