Cuántos coeficientes binomiales son iguales a un número entero específico ( $\binom{n}{r} = 2013$ ou $\binom{n}{r} = 2014$ )?

Question

1. Encuentre el número de pares ordenados $(n,r)$ que satisfacen $\binom{n}{r} = 2013$ .
2. Encuentre el número de pares ordenados $(n,r)$ que satisfacen $\binom{n}{r} = 2014$ .

Mi intento de $(1)$ :

Por simple conjetura, podemos encontrar dos soluciones:

$$ \binom{n}{r} = \binom{2013}{1}=\binom{2013}{2013-1}=\binom{2013}{2012} $$

Así que hay dos soluciones $(2013,1),(2013,2012)$ .

También sabemos que $\binom{n}{r} = 3\times 11 \times 61$ .

Cómo puedo calcular los pares ordenados restantes $(n,r)$ ¿desde este punto?

Answer 1

$$\binom n {r+1}\ge \binom nr \iff \frac{\binom n {r+1}}{\binom nr}\ge 1\iff\frac{n-r}{r+1}\ge1\iff r\le \frac{n-1}2$$

Así que, $$\binom n r\le \binom n {r+1}\iff r\le \frac{n-1}2$$ y $$\binom n r\ge\binom n {r+1}\iff r\ge\frac{n-1}2$$

Para cualquier número entero $u,\binom n1=u\implies n=u$ siempre tendrá una solución en números enteros.

Para $r=2,\binom n2=\frac{n(n-1)}{2}=2013\iff n^2-n-2\cdot2013=0$ pero el discriminante $1+4\cdot2\cdot2013=16105$ no es un cuadrado perfecto, por lo que no tenemos ninguna solución racional.

Para $r=3,\binom n3=\frac{n(n-1)(n-2)}{1\cdot2\cdot3},$

uno de los términos del numerador $n-s$ (digamos,) donde $0\le s\le 2$ es divisible por $61$

Así que, $n-s=61m,n=61m+s$ para algún número entero $m$ entonces $n-t\text{( where $ 0\le s\le 2 $)}\ge 61m-2\ge 59m$ para $m\ge 1$

Así que, $\binom n3\ge \frac{(59m)^3}{1\cdot2\cdot3}>2013$ para $m\ge1$

Ahora, $\binom n{r+1}\ge \binom n3$ para $\frac{n-1}2\ge r\ge 3\implies \binom nr>2013$ para $\frac{n-1}2\ge r\ge 3$

también $\binom n{n-3}\le \binom nr$ para $\frac{n-1}2\le r\le n-3\implies \binom nr>2013$ para $\frac{n-1}2\le r\le n-3$

$\implies \binom nr>2013$ para $3\le r\le n-3$

Como $\binom nr=\binom n{n-r},$ la única otra solución es $r=n-1$ correspondiente a $r=1$