¿Son monics y epopeyas en la categoría de espacios dimensionales finitos vector realmente inyectiva y sobreyectiva transformaciones lineales?

Question

Considerar la categoría de finito dimensionales espacios vectoriales con morfismos siendo transformaciones lineales.

Es cierto que monics y epopeyas son en realidad inyectiva y surjective lineal mapas, respectivamente? Lo contrario es seguramente cierto, ya que la categoría es de hormigón.

Sé que esto monics y epopeyas son precisamente los inyectiva y surjective mapas en la categoría de Conjuntos y en la categoría de grupos, pero no es necesariamente cierto en la categoría de espacios topológicos, así que tengo curiosidad si es cierto o no en la categoría de f.d. espacios vectoriales, y si es así ¿por qué?

Answer 1

Si $f:V\to W$ no es inyectiva, entonces son dos distintos mapas $\ker(f) \to V$ que rinde la misma composición con $f$, es decir, el mapa del cero y la inclusión mapa, así $f$ no es monic.

Si $f:V\to W$ no es sobreyectiva, entonces hay dos mapas diferentes $W \to W$ que rinde la misma composición con $f$, es decir, el mapa de identidad y cualquier proyección en $\operatorname{ran}(f)$, $f$ no es épica.

Answer 2

Lo clave para responder a estas preguntas es probar y elegir las piezas de sus objetos de uso agradable, fácil-a-entender las cosas. En Conjunto, tenemos el único punto que nos permite "probar" los mapas. En Vect, me imagino que el 1-d el espacio de las obras. Así que imagínense $f:V \rightarrow W$ fueron monic, pero no inyectiva. El kernel es trivial, así que, si $k$ es el espacio tridimensional, se obtiene un mapa distinto de cero $v:k \rightarrow V$ que recoge a un vector distinto de cero en el núcleo. Pero también hay $0:k \rightarrow V$ que envía todos los de $k$ a cero, y $f\circ 0 = f \circ v = 0$, y así ya se monic, $0 = v$. Pero esto es imposible para un trivial de campo. Así monics son las mismas que las inyecciones. Nosotros "prueba" monics con $k$ tal como se prueba en Conjunto con el punto único.

Si $f$ es epi, a continuación, utilizando el cociente del espacio de $W/f(V)$, comparando $\pi$$0$, puede también la razón de que $W/f(V) = 0$, lo $W = f(V)$.

Answer 3

@TreverWilson la solución es irregular. Me gusta usar el rango de nulidad, siempre que tengo la oportunidad de aunque.

Deje $f:V\rightarrow W$ ser monic. En busca de una contradicción, supongamos $f$ no es inyectiva lo $\dim\ker f\neq0$. Esto le da una secuencia exacta $$ 0\rightarrow\ker f\xrightarrow{i}V\xrightarrow{f}W $$ Es decir, $i$ es inyectiva lo $\dim\ker i=0$. Por otra parte, $f\circ i=0=f\circ 0$$i=0$. Por lo tanto $\dim\mathrm{im}\,i=0$. Ahora, aplicando el rango de nulidad a $i$ da $$ \dim\ker f=\dim\ker i+\dim\mathrm{im}\,i=0+0=0 $$ una contradicción. Por lo tanto $f$ es inyectiva.

Demostrando que $f$ epi implica $f$ surjective es similar utilizando la secuencia exacta $$ V\xrightarrow{f}W\rightarrow\mathrm{cok}\,f\rightarrow 0 $$