¿Por qué es rara una matriz singular?

Question

Estoy explorando patrones de enteros en matrices $n\times n$. Tengo dos matrices que tienen un determinante de $0$ y una matriz circulante que tiene determinantes positivos que difieren dependiendo de $n$.

Recorté esto de Wikipedia y resalté la parte importante:

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Una matriz cuadrada que no es invertible se llama singular o degenerada. Una matriz cuadrada es singular si y solo si su determinante es 0. Las matrices singulares son raras en el sentido de que si eliges una matriz cuadrada al azar sobre una distribución uniforme continua en sus entradas, casi con seguridad no será singular.

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Lo Bueno: $$\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \end{array} \right)$$ Lo Malo: $$\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 5 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 \\ \end{array} \right)$$ Y lo Feo: $$\left( \begin{array}{ccccc} 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ 16 & 17 & 18 & 19 & 20 \\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\ 26 & 27 & 28 & 29 & 30 \\ 31 & 32 & 33 & 34 & 35 \\ \end{array} \right)$$

Lo Bueno es igual a lo Feo módulo n y ambos son singulares. Lo Malo es el Bueno circulante y tiene determinante $>0$.

Dos preguntas:

1. ¿Qué hace que una matriz singular sea rara?
2. ¿Alguien ha documentado las diferencias? (preferiblemente, usando $n$ o $n^2$)

Answer 1

Pensar en términos de probabilidad ayuda. Si tienes una distribución de probabilidad continua definida en algún espacio de matrices, entonces típicamente las matrices singulares tendrán probabilidad cero. Pensando en términos del determinante: El determinante es un polinomio en las entradas de la matriz. Establecerlo en cero da una ecuación polinómica, que está definiendo (implícitamente) alguna superficie en el espacio de matrices. Esta superficie tendrá una dimensión reducida, por lo que su medida (Lebesgue) será cero.

Answer 2

El número de matrices $2\times2$ sobre un campo de $q$ elementos es $q^4$.

El número de matrices no singulares $2\times2$ sobre un campo de $q$ elementos es $$(q^2-1)(q^2-q)=q^4-q^3-q^2+q$$ lo que significa que solo $q^3+q^2-q$ de $q^4$ son singulares.

Answer 3

Aquí hay una extensión del argumento de Gerry. Hay $q^{n^2}$ matrices en $M_{n\times n}(\mathbb{F}_q)$ y $\prod_{k=0}^{n-1}(q^n-q^k)$ elementos en $GL_n(\mathbb{F}_q)$.

$$\lim_{q\to\infty}\frac{\prod_{k=0}^{n-1}(q^n-q^k)}{q^{n^2}}=\lim_{q\to\infty}(q^{-n};q)_n=\lim_{q\to\infty}\prod_{k=0}^{n-1}\left(1-q^{-n+k}\right)=1$$ donde $(q^{-n};q)_n$ es el símbolo de $q$-Pochhammer.

Notar que el hecho de que $\mathbb{F}_q$ tenga característica no nula no afecta a este argumento, ya que la fórmula $\prod_{k=0}^{n-1}(q^n-q^k)$ se basa en elegir $n$ vectores linealmente independientes combinatoriamente de $(\mathbb{F}_q)^n$, un proceso que se extiende al caso infinito independientemente de la característica.

Answer 4

Hay al menos una forma muy fácil de pensar en esto. Imagina los $n$ vectores columna como simples puntos en $\mathbf{R}^n$. Ahora la matriz es singular si y solo si estos puntos están todos en un subespacio $(n-1)$-dimensional único, es decir, un hiperplano que pasa por el origen. Típicamente, si simplemente elijo $n$ puntos aleatorios, básicamente no hay posibilidad de que accidentalmente estén en un solo hiperplano.

Answer 5

Si piensas en la interpretación de una matriz como un sistema de ecuaciones, y tomas el caso de 2 variables como un ejemplo fácil de visualizar, la mayoría de pares de ecuaciones no son líneas paralelas. Si la segunda columna es un múltiplo de la primera, entonces son paralelas. En este caso, la segunda columna será un múltiplo de la primera.

Por supuesto, para el caso de 3 dimensiones, hay combinaciones lineales, por lo que esto ya no se cumple en el mismo sentido, pero aún así tienes la columna n-ésima como un "múltiplo" de una o ambas de las otras columnas.

¿Eso aclara las cosas, o hay algo más complejo que estás notando?