Obstrucciones para levantar un mapa de la fibración de Hopf

Question

Esto es un poco de una elemental pregunta, pero

supongamos $\pi: \mathbb{S}^3\to \mathbb{S}^2$ es el de Hopf fibration, hay razonablemente computable obstáculos para cuando un mapa de $f:M\to \mathbb{S}^2$ puede ser elevada a un mapa de $\tilde{f}:M\to \mathbb{S}^3$?

Si importa todo lo que puede ser tomado en el buen categoría. También, estoy muy interesada en el caso de que $M$ es un subconjunto abierto de una orientada a la superficie cerrada si esto simplifica las cosas en todos.

Mi entendimiento es que si $M$ es un disco de este no hay obstrucción,

Me disculpo si este es trivial, pero no es por área de especialización...

Answer 1

El Hopf fibration es de la forma

$$S^1 \to S^3 \to S^2$$

Desde el Hopf fibration es una $S^1$-bundle, hay una clasificación de mapa

$$S^2 \to BS^1$$

donde $BS^1 \simeq K(\mathbb Z,2) \simeq Gr^+_{\infty,2}$, es decir, la Grassmannian orientadas 2-dimensional vector de paquetes. Así que el Hopf fibration es el pull-back de la unidad de círculo paquete de clasificar mapa, por otra parte, el mapa de $S^2 \to Gr^+_{\infty,2}$ es el generador de $\pi_2 Gr^+_{\infty,2} \simeq \mathbb Z$.

Un mapa de $M \to S^2$ ascensores de un mapa de $M \to S^3$ si y sólo si el pull-back de el generador de $H^2 S^2 \simeq \mathbb Z$ $H^2 M$ es cero. Esto es debido a que el tautológica círculo paquete de más de $Gr^+_{\infty,2}$ es el Stiefel colector $V_{\infty,2}$ que es contráctiles. Así que la única obstrucción es el mapa $M \to BS^1$, que a través de la Serre interpretación de $H^2$ es el pull-back de el generador bajo el mapa $M \to S^2$.