$\mathbb{R}^n\times\{0\}$ tiene medida cero en $\mathbb{R}^{n+1}$

Question

Quiero mostrar que $\mathbb{R}^n\times\{0\}$ tiene medida cero en $\mathbb{R}^{n+1}$.

Por ejemplo, tomar $n=1$. Quiero mostrar que el $x$-eje tiene medida cero en el plano. Cubro con el % de sistemas $[-1,1]\times[-\epsilon/8,\epsilon/8]$, $[-2,2]\times[-\epsilon/32,\epsilon/32]$, $\ldots$

El objetivo es tener los volúmenes $\epsilon/2, \epsilon/4, \ldots$ por lo que suma al $\epsilon$.

Creo que este método generaliza a $\mathbb{R}^n$, simplemente eligiendo $[-1,1]^{n-1}\times[-\epsilon/2^{n+2},\epsilon/2^{n+2}],\ldots$. Creo que es muy elegante. ¿Hay una "mejor" manera de hacer esto?

Answer 1

Se puede hacer algo similar con cubos en $\mathbb{R}^n$:

1. Que $[-k,k]^n \times \{0\}$ tiene medida cero cada $k \in \mathbb{N}$

Prueba: $\epsilon > 0$, elija $\delta > 0$ lo que \prod_{i=1}^n $$ 2\delta (2 k + 2\epsilon) < \epsilon $$ entonces nota que $$ U = (\epsilon - k-, k + \epsilon) ^ n \times (-\delta, \delta) $ contiene $[-k,k]^n\times \{0\}$ y tiene medida $< \epsilon$

1. Tenga en cuenta que $$ m(\mathbb{R}^n \times \{0\}) = \lim_{k\to \infty} m ([-k, k] ^ n\times \{0\}) $$