Orígenes de la conjetura sobre la existencia de infinitamente muchos números primos palindrómico

Question

Un capicúa privilegiada con respecto a una base $b \geq 2$ es un número primo tal que, cuando se invierte la secuencia de dígitos en base $b$, se obtiene el mismo primer. Por ejemplo, en base 10, el primer 16661 es capicúa. Ver la wiki aquí para más:

https://en.wikipedia.org/wiki/Palindromic_prime

Es bien conocida conjetura de que hay infinitamente muchos de estos en base 10 (pero probablemente en cada base). He intentado en línea para encontrar información sobre los orígenes de esta conjetura, pero sin éxito. Ni siquiera podía encontrar en qué siglo fue el primero que habló. Quizás es un folclore problema? Sin embargo, debe haber al menos algunos de los primeros documentos que mencionan. Si queréis saber algo acerca de los orígenes de la conjetura o, al menos, el siglo en el que aparece por primera vez en un documento o correspondencia entre los matemáticos? Muchas gracias.

Actualización: Varios de los comentarios y respuestas señalan la heurística de la conjetura y un informe reciente. Si usted también quiere saber de un viejo citables de papel o libro donde la conjetura de que aparezca o al menos algo estrechamente relacionados que se dice acerca de estos números primos?

Answer 1

Puede ser incluso cierto que se pueden construir infinitas pirámides de números primos palindrómico (el ejemplo es demasiado largo para un comentario):

\( 5 97579 389757983 3138975798313 15313897579831351 741531389757983135147 9074153138975798313514709 73907415313897579831351470937 907390741531389757983135147093709 3690739074153138975798313514709370963 38369073907415313897579831351470937096383 393836907390741531389757983135147093709638393 7039383690739074153138975798313514709370963839307 71703938369073907415313897579831351470937096383930717 347170393836907390741531389757983135147093709638393071743 9534717039383690739074153138975798313514709370963839307174359 93953471703938369073907415313897579831351470937096383930717435939 799395347170393836907390741531389757983135147093709638393071743593997 3679939534717039383690739074153138975798313514709370963839307174359399763 14367993953471703938369073907415313897579831351470937096383930717435939976341 761436799395347170393836907390741531389757983135147093709638393071743593997634167 1776143679939534717039383690739074153138975798313514709370963839307174359399763416771 70177614367993953471703938369073907415313897579831351470937096383930717435939976341677107 \)

Answer 2

Deje $N(x)$$P(x)$, respectivamente, del número de palíndromos y el número de palindrómicas de los números primos $\le x$. Los bancos, Hart y Sakata demostrado que $$ P(x) \sim O\bigg(\frac{N(x)\ln\ln\ln x}{\ln x}\bigg). $$

En el mismo documento, los autores conjeturan que basado en sus resultados que el conjunto de los palíndromos deben comportarse como "al azar", enteros, por lo que uno podría esperar que la relación asintótica

$$ P(x) = O\bigg(\frac{N(x)}{\ln x}\bigg) $$

Para obtener más detalles, consulte el papel de los Bancos, Hart, Sakata 2008, Casi todos los palíndromos son compuestos.

Otra heurística simple argumento está dada por Anthony Quas en los comentarios de la Mathoverflow hilo: http://mathoverflow.net/questions/79113/why-so-difficult-to-prove-infinitely-many-restricted-primes

En el intervalo de $2^n$ $2^{n+1}$hay aproximadamente $2^{n/2}$ palíndromos. El primer número teorema dice que la densidad de los números primos en este intervalo es de alrededor de $1/n$ por lo que podemos esperar para ver sobre la $c2^{n/2}/n$ palindrómicas de los números primos en este rango. Por lo tanto, en general, se puede conjeturar que el número de palindrómicas de los números primos $\le x \sim \frac{\sqrt x}{\ln x}$.

Answer 3

Uno de sus etiquetas se las matemáticas-la historia es pertinente mencionar un tema relativo a una forma de generar números capicúa lo que sea primo o compuesto.

Parece, según Jean-Paul Delahaye en su papel de "Déconcertantes conjeturas" que el origen de este tema se encuentra en "Palíndromo además" de Charles Trigg (Mathematics Magazine, 1967. Vol. 40, páginas 26-28) sin embargo Delahaye añade "mais peut-être est-elle plus ancienne?".

A partir de un número $N$ escrito en base 10, podemos invertir el orden de sus dígitos y añadir a la N invertida número. Repitiendo varias veces si es necesario la operación, que normalmente se encuentra un número capicúa. Ejemplos $$14+41=55\\1048+8401=9449\\1723+3271=4994$$ Usted no siempre rápidamente obtener de esta manera un palíndromo y, por ejemplo, a partir de $N = 89$ necesitan veinte-cuatro iteraciones para obtener el palíndromo $$(1)\space89+98=187\\(2)\space187+781=968\\(3)\space968+869=1837\\..........\\..........\\(24)\space1801200002107+7012000021081=8813200023188$$ Y el primer número no dar un palíndromo en un conocido número finito de iteraciones es $196$. El récord hasta ahora (de Waden Van Landingham) con $7\cdot 10^8$ iteraciones sin un palíndromo aparece, se detuvo en un número entero de tener más de $3\cdot 10^8$ dígitos y todo ello ha dado lugar a las siguientes

Conjetura: El número de $196$ a someterse a la volcadura-de la operación de agregar (es decir, la parte expuesta de forma) nunca producir un palíndromo.