Demostrar que $\sqrt 2 +\sqrt 3$ es irracional.

Question

Por favor, demuestre que $\sqrt 2 + \sqrt 3$ es irracional.

Una de las pruebas que he visto va:

Si $\sqrt 2 +\sqrt 3$ es racional, entonces considera $(\sqrt 3 +\sqrt 2)(\sqrt 3 -\sqrt 2)=1$ lo que implica que $\sqrt 3 \sqrt 2$ es racional. Por lo tanto, $\sqrt 3$ sería racional. Es imposible. Así que $\sqrt 2 +\sqrt 3$ es irracional.

Ahora bien, ¿cómo sabemos que si $\sqrt 3 -\sqrt 2$ es racional, entonces $\sqrt 3$ debe ser racional?

Gracias.

Answer 1

Como los racionales son cerrados bajo adición, si se sabe $\sqrt 2 + \sqrt 3$ es racional y que $\sqrt 3 - \sqrt 2$ es racional, su suma $2 \sqrt 3 $ es racional, entonces divide por $2$

Añadido: podemos incluso hacerlo explícito. Si $\sqrt 2+\sqrt 3=\frac ab, \sqrt 3-\sqrt 2=\frac ba$ y $\sqrt 3=\frac 12 (\frac ab + \frac ba)$

Answer 2

Está mal redactado. Su redacción hace que parezca que está diciendo que si $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ es racional, entonces $\sqrt{3}$ debe ser racional. Pero en realidad significa que si AMBOS $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ y $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ son racionales, entonces también lo son $\sqrt{3}$ . Eso es porque si ambos son racionales, entonces su suma es racional. Su suma es $2\sqrt{3}$ . Es fácil ver que si eso es racional, entonces también lo es $\sqrt{3}$ .

Answer 3

si $a,b$ son racionales, también lo es $a+b$ ...

Como $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ y $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ son racionales, también lo es $\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2}=2\sqrt{3}$

si $a,ab$ son racionales, también lo es $b$ ...

Como $2,2\sqrt{3}$ son racionales por lo que es $\sqrt{3}$ ...

aquí hemos utilizado dos declaraciones

si $a,b$ son racionales, también lo es $a+b$ ...

si $a,ab$ son racionales, también lo es $b$ ...

convéncete de que estos resultados se pueden ver fácilmente.. Si no es así,

por primera vez:

Como puede ver si $a=\frac{p}{q},b=\frac{r}{s}$ entonces $a+b=\frac{ps+qr}{qs}$

y para la segunda declaración

Supongamos que $a=\frac{p}{q}$ y $ab=\frac{r}{s}$ entonces $b=\frac{qr}{ps}$

P.D : Me gusta tu idea $(\sqrt 3 +\sqrt 2)(\sqrt 3 -\sqrt 2)=1$ para demostrar la irracionalidad... :)Esa es la razón por la que he intentado ayudarte... todo lo mejor

Answer 4

Se trata de una solución al estilo de las "matemáticas difíciles".

Asumo que sabes que $\sqrt{2}$ es irracional y de grado $2$ en $\mathbb{Q}$ . Es fácil demostrar que $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})= \mathbb{Q}(\sqrt{3}+\sqrt{2})$ . Si $\sqrt 3 + \sqrt 2$ es racional, entonces tendríamos $[\mathbb Q(\sqrt 3 + \sqrt 2): \mathbb Q]=1$ pero $$1 = [\mathbb Q(\sqrt 3 + \sqrt 2): \mathbb Q]=[\mathbb Q (\sqrt 3, \sqrt 2):\mathbb Q(\sqrt 2)][\mathbb Q(\sqrt 2): \mathbb Q] \geq 2,$$ una contradicción.

Answer 5

Poner $r = \sqrt2 + \sqrt3$ . Después de elevar al cuadrado ambos lados y restar cinco a ambos lados tienes $r^2 - 5 = 2\sqrt2\sqrt3$ . Cuadrado de nuevo para obtener finalmente $r^4-10r^2+1=0$ . Ahora ya sabes dos cosas:

1. $\sqrt2 + \sqrt3$ es una raíz del polinomio $X^4-10X^2+1$ .
2. Según el criterio de Gauss, las únicas raíces racionales posibles de $X^4-10X^2+1$ son $1$ o $-1$

Con esto se consigue que $\sqrt2 + \sqrt3$ es una raíz no racional de $X^4-10X^2+1$ .