¿Cuasi-separatedness está afín local?

Question

[Vakil define un esquema de $X$ a ser quasiseparated si la intersección de dos quasicompact se abre es quasicompact]

Esta es la parte (b) de 7.3.C en Vakil la OFAG: Mostrar que una de morfismos $\pi$ a partir de un esquema de $X$ en un esquema de $Y$ es quasiseparated [ Para cualquier abierto afín $Spec(U)\subset Y$, $\pi^{-1}(Spec(U))$ es quasiseparated] si hay una cubierta de la $Y$ por abrir afín subconjuntos $U_i$ tal que $\pi^{-1}(U_i)$ es quasiseparated.

La parte (a) para demostrar que la misma cosa para quasicompactness y es sencillo. La sugerencia se sugiere el uso de los afín a la comunicación lema y puedo usar para mostrar que para cualquier subconjunto abierto $Spec(A)$ de $Y$, $\pi^{-1}(Spec(A))$ es finito unión de quasiseparated abrir subconjuntos, pero que claramente no es suficiente.

Otro enfoque parece ser la de reducir el problema a mostrar que la si $Spec(W)$ es un subconjunto abierto de $\pi^{-1}(U_i)$ $Spec(V)$ es un subconjunto abierto de $\pi^{-1}(U_j)$, $Spec(W)\cap Spec(V)$ es quasicompact. Pero ni siquiera estoy convencido de que esto es cierto en general.

Cualquier sugerencias o soluciones sería muy apreciada.

Answer 1

Bueno, imaginé el uso de algunas de las ideas en mat E post:

Supongamos que tenemos una portada de $Y$ afín a abrir los subconjuntos $Spec(U_{i})$ tal que $\pi^{-1}(Spec(U_{i}))$ es quasiseparated. Debido a un arbitrario abrir subconjunto $Spec(A)$$Y$, queremos mostrar que $\pi^{-1}(Spec(A))$ es quasiseparated. El uso de los afín a la comunicación lema (Ver FOAG), podemos encontrar una cubierta de $Spec(A)$ por el distinguido abrir subconjuntos $D(f_{1}),\ldots,D(f_{n})$ tal que $\pi^{-1}(D(f_{i}))$ es quasiseparated. Recordemos que un equivalente condición para que un esquema de $W$ a ser quasiseparated es que debe ser posible la cobertura de la intersección de dos abiertos afín subschemes con un número finito de abiertos afín subschemes. Así que vamos a $Spec(B)$ y $Spec(C)$ dos de estos subschemes de $\pi^{-1}(Spec(A))$ y tenga en cuenta que el problema se reduce a los siguientes casos:

$X$ es la unión de dos afín subschemes $Spec(B)$ y $Spec(C)$ y $Y=Spec(A)$ . Deje $D(f_{1}),\ldots,D(f_{n})$ ser finito, cubierta de $Y$ tal que $\pi^{-1}(D(f_{i}))$ es quasiseparated. Queremos mostrar que $X$ es quasiseperated.

Deje $d_{C,i}$ denotar la preimagen de $D(f_{i})$ en $Spec(C)$ y $d_{B,i}$ denotar la preimagen en $Spec(B)$ . A continuación, el $d_{B,i}$ y el $d_{C,i}$ forma una afín a la cubierta de X . Tenga en cuenta que $d_{B,i}\cap d_{B,j}$ es la preimagen de $D(f_{i})\cap D(f_{j})=D(f_{i}f_{j})$ en $Spec(B)$ , por lo que es afín. Análoga observación también se aplica a $d_{C,i}\cap d_{C,j}$ . Así es mostrar que $d_{C,i}\cap d_{B,j}$ puede ser cubierto por un número finito afín a abrir subconjuntos: tenga en cuenta que $p\in d_{C,i}\cap d_{B,j}$ implica $p\in d_{B,i}$ puesto que debemos tener $p\in Spec(B)$ y $\pi(p)\in D(f_{i}),D(f_{j})$ . Por lo tanto $d_{C,i}\cap d_{B,j}=d_{C,i}\cap(d_{B,j}\cap d_{B,i})$ Sabemos que $d_{B,j}\cap d_{B,i}$ es un quasicompact (afín, de hecho) abrir subconjunto de $d_{B,i}\cup d_{C,i}$ como es $d_{C,i}$ . Nuestra hipótesis original nos dice que $d_{B,i}\cup d_{C,i}$ es quasiseperated y ahora sigue que $d_{C,i}\cap d_{B,j}$ es quasicompact y puede ser cubierto por un número finito afín a abrir sets. Por lo tanto, el espacio X es quasiseparated.

Answer 2

Aquí es un argumento usando el `Afín a la comunicación lema," tal vez más a lo largo de las líneas de lo que Vakil la intención.

Queremos mostrar dos pasos:

1. Si $\pi^{-1}(\text{Spec}(A))$ es cuasi-separados y $f \in A$, $\pi^{-1}(\text{Spec}(A_f))$ es cuasi-separados.

2. Si $(f_1, \ldots, f_n) = A$ y cada una de las $\pi^{-1}(\text{Spec}(A_{f_i}))$ es cuasi-separados, a continuación, $\pi^{-1}(\text{Spec}(A))$ es cuasi-separados.

La reivindicación 1 es la más fácil: un subconjunto abierto de un cuasi-separados esquema cuasi-separados. (Tomar dos cuasi-pactos en el subconjunto abierto y los consideran como quasicompacts en todo el espacio.)

Para 2, supongamos $U$ $V$ son dos cuasi-compacto abrir los subconjuntos de a $\pi^{-1}(\text{Spec}(A))$. Se puede reducir al caso en que $U$ $V$ se sitúan en su totalidad en $\pi^{-1}(\text{Spec}(A_{f_i}))$$\pi^{-1}(\text{Spec}(A_{f_j}))$, ya que cada uno está cubierto por un número finito de abiertos subconjuntos situada totalmente en una de las pre-imágenes. Entonces

$$U \cap V = U \cap \pi^{-1}(\text{Spec}(A_{f_i})) \cap V = U \cap V_{\pi^{\#}}(f_i)$$

y $V_{\pi^{\#}}(f_i)$ es afín, así que esto es quasicompact porque $\pi^{-1}(\text{Spec}(A_{f_i}))$ es quasiseparated.