En primer lugar, existe algo llamado Teorema de la Representación de Riesz. Para entenderlo, empieza por fijar un vector $v \in H$ . Ahora podemos utilizar el producto punto para definir un funcional lineal continuo $L_v: H \rightarrow F$ por $$L_v(w) = \langle w,v \rangle.$$ Lo que dice el Teorema de la Representación de Riesz es que cada funcional lineal continuo $\phi:H \rightarrow F$ ¡surge de esta manera! Es decir, dado cualquier elemento $\phi$ del espacio dual $H^\ast$ Hay algunos $v \in H$ para que $\phi(w) = \langle w, v \rangle$ . Por eso podemos pensar que los funcionales lineales son elementos del espacio de Hilbert, y viceversa. En términos más matemáticos, decimos que el dual de $H$ es isomorfo a $H$ .
En segundo lugar, una nota sobre los espacios duales: Creo que normalmente el espacio $H^\ast$ se define como el conjunto de continuo funcionales lineales. Esta distinción es importante, ya que hay diferentes tipos de duales. Hasta ahora, he hablado del dual topológico. Sin embargo, existe un dual algebraico, que he visto denotar $H^\star$ que no es más que todos los funcionales lineales $H \rightarrow F$ , no se asume la continuidad. El Teorema de la Representación de Reisz sólo se refiere al dual topológico. (Los duales son en realidad los mismos para los espacios de Hilbert de dimensión finita, pero no creo que los espacios de Hilbert encontrados en QM lo sean).
En tercer lugar, los colindantes: Dado cualquier espacio de Hilbert $H, K$ y una función lineal continua $A: H \rightarrow K$ existe un mapa lineal continuo llamado adjunto $A^\ast:K \rightarrow H$ (nótese que va en sentido contrario) que se define por la ecuación $\langle Av, w \rangle = \langle v, A^\ast w \rangle$ . Normalmente sólo se ve el caso $K = H$ . Así que no, el adjunto de un operador $A: H \rightarrow H$ no es un elemento de $H^\ast$ ya que los miembros de $H^\ast$ son funciones lineales continuas de $H$ en $F$ y $H^\ast$ va de $H$ en $H$ .
Por desgracia, no sé mucho sobre QM, así que esto último es sólo una especulación sobre cómo creo que funciona la notación. Si consideras kets $|\phi \rangle \in H$ sea un elemento del espacio de Hilbert, entonces existe un funcional lineal continuo que supongo que se podría llamar $\langle \phi |$ definido por $\langle \phi | v \rangle = \langle v, \phi \rangle.$ Y a la inversa, dado un sujetador $\langle \phi |$ por el Teorema de la Representación de Reisz, existe un bra $| \phi \rangle$ para que $\langle \phi | v \rangle = \langle \phi , v \rangle.$
