Definición de $|x|=-1$

Question

Q 1a

¿Es posible definir un número $x$ tal que $|x|=-1$ donde $|\cdot|$ significa valor absoluto, del mismo modo que definimos $i^2=-1$ ?

No tengo ni idea de si tiene sentido, $\sqrt{-1}$ tampoco solía existir.

Para ser más explícito, quiero que se mantengan tantas propiedades como sea posible, por ejemplo $|a|\times|b|=|a\times b|$ y $|a|=|-a|$ como algunas propiedades que parecen mantenerse para todos los diferentes tipos de números (o de alguna manera análoga).

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Q 1b

Si dejamos que la solución de $|x|=-1$ sea $x=z_1$ y permitimos la propiedad multiplicativa,

$$|(z_1)^2|=1$$

O, más aún,

$$|(z_1)^{2n}|=1\tag{$ n\in\mathbb N $}$$

Tenga en cuenta que esto no significa $z_1$ es un número real, complejo o de cualquier otro tipo. Solíamos pensar $|x|=1$ tenía dos soluciones, $x=1,-1$ pero ahora podemos darle la solución $x=e^{i\theta}$ para $\theta\in[0,2\pi)$ . Añadir la solución $(z_1)^{2n}$ no es ningún problema por lo que veo.

Sin embargo, hay problemas que no veo tan claros, por ejemplo,

$$|z_1+3|=?$$

Por el momento no existe ninguna forma de definir estos valores.

Del mismo modo $z_2$ sea el número que satisface lo siguiente

$$|z_2|=z_1$$

Por lo que veo, no es posible crear $z_2$ dado $z_1$ y $z_0\in\mathbb C$ .

A continuación le ofrecemos una solución, por si se lo estaba preguntando.

$$|\sqrt{z_1}|=i$$

así que no, no me olvidé de tener en cuenta esos casos.

Pero, de forma más general, deseo definir los siguientes números de forma recursiva.

$$|z_{n+1}|=z_n$$

desde entonces, que yo sepa, $z_{n+1}$ no es representable mediante $z_k$ para $k\le n$ . De este modo, la naturaleza de $z_n$ es eterno, a diferencia de $i$ cuya solución es $\sqrt i=\frac1{\sqrt2}(1+i)$ .

Por lo tanto, mi segunda pregunta es preguntar si alguien puede discernir algunas propiedades sobre $z_n$ definiéndolos como lo hemos hecho anteriormente? ¿Y qué es $|z_1+3|=?$

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Q 2a

Esta parte es importante, así que de verdad quiero que vosotros (y vosotras) lo tengáis en cuenta:

¿Puede construir un problema tal que $|x|=-1$ será necesario en un paso a medida que resuelva el problema, pero de tal manera que la solución final sea un real/complejo/algo ya bien conocido. Esto es similar a _Casus irreducibilis_ que básicamente forzó $i$ de existir estableciendo su necesidad de existir.

Estoy dispuesto a dar una gran recompensa a quien sea capaz de crear un escenario/problema de este tipo.

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Q 2b

Y si es realmente imposible, ¿por qué? ¿Por qué no es posible definir alguna "cosa" la solución del problema, mantener un conjunto básico de propiedades del valor absoluto, y seguir adelante? ¿Qué hay de diferente entre $|x|=-1$ y $x^2=-1$ ¿Por ejemplo?

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Reflexiones a tener en cuenta:

Ahora, Lucian ha señalado que hay muchas cosas que aún no comprendemos, como $z_i\in\mathbb R^a$ para $a\in\mathbb Q_+^\star\setminus\mathbb N$ . Es muy posible que exista tal número, pero en un campo que hasta ahora no logramos comprender.

Del mismo modo, la desigualdad del triángulo claramente no puede coexistir con tales números como es. Para que exista la desigualdad de triángulos, alguien tiene que averiguar cómo hacer triángulos con longitudes no positivas/reales.

En cuanto a la propiedades/axiomas de la norma Quiero:

$$p(v)=0\implies v=0$$

$$p(av)=|a|p(v)$$

Answer 1

En primer lugar, puede definir $|\cdot|$ significar lo que quieras en cualquier contexto, siempre que seas claro y directo al respecto.

Dicho esto, uno suele querer $|\cdot|$ ser un norma lo que significa que cumple una serie de criterios. Entre ellos se encuentra $|x|\geq 0$ . Si incumple estas normas, ¿merece realmente su operación el nombre de "valor absoluto"? ¿Merece su operación ser escrita utilizando $|\cdot |$ ? Personalmente, diría que no, lo que significa que utilizar ese símbolo no sería equivocado Pero dificultaría la comprensión de los lectores, simplemente por lo que esperan de esa notación.

Una excepción notable, como se señala en los comentarios, es el determinante de las matrices cuadradas. Y los números reales / complejos son matrices cuadradas (de dimensión $1\times1$ ), por lo que en ese contexto tenemos realmente $|-1|=-1$ . Pero eso es una operación diferente.

Answer 2

El valor absoluto es algo muy distinto de un cuadrado. Un cuadrado proviene simplemente de la multiplicación y nada más. Especialmente, un cuadrado no necesita un orden en la estructura subyacente. Sin embargo, el valor absoluto sólo puede definirse después de definir un orden mediante la configuración de $$ |x| = \begin{cases} x & x\geq 0\\ -x & x < 0\end{cases}. $$ Por lo tanto, es de hecho definido no sea negativo. No es que se pueda tener alguna estructura algebraica con un valor absoluto y luego preguntarse "¿Y si $|x|$ es negativo?" de la misma manera que preguntas por los cuadrados Dicho de otra manera:

No se puede deducir de los axiomas de campo que $x^2 = -1$ no tiene soluciones, pero se puede deducir de los axiomas de la ordenación que $|x|=-1$ no tiene solución.

Para responder a la pregunta real: No he visto variante de valores absolutos (o normas, o métricas) para tomar valores negativos y dudo que se haya estudiado tal cosa.

Answer 3

Las demás respuestas hablan de reales o normas, pero no consideran los números complejos. Sin embargo, si se piensa en $|x| = (x^2)^{\frac{1}{2}}$ entonces $|x|=-1$ tampoco tiene solución. Por lo tanto, no creo que haya una extensión natural de los negativos.