¿Determinante del producto igual al producto de determinantes?

Question

Que $X$ ser una matriz de $n\times p$ y $A$ $n\times n$ matriz. Cuando es lo cierto que

$$\det (X^{\top}AX) = \det(A)\det(X^{\top}X)?$$

Answer 1

(Editado para reflejar el cambio en el problema) En general no es cierto:

Que $X = e_1$ $A$ ser cualquier matriz con $A_{11} = 0$. $X^T A X = 0$ mientras que la otra cantidad será en general distinto de cero.

Ahora a pensar en él... Intuitivamente creo que $X$ tiene que ser completo dimensional (descartar casos tontos como $0$ matrices) y por lo menos si $\det(X) = 1$, entonces claro que $\det(X^T A X) = \det((X^T)^{-1} X^T A X X^{-1}) = \det(A)$.

Answer 2

En el caso de que el $A$ es una matriz diagonal positivo, (es decir, todas las entradas de la diagonal no son cero) podemos fijar $$ X = \sqrt\lambda_2e_1-\sqrt\lambda_1e_2 $$ donde $\lambda_1,\lambda_2$ son las dos primeras entradas diagonales del $A$.

El resultado es $X^TAX=0$