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$\epsilon, \delta$ ...¿Y qué?

A lo largo de mis estudios, a menudo encuentro en el material de referencia frases del tipo "y esto evita la necesidad de utilizar $\epsilon$ , $\delta$ definiciones" o "con esto podemos omitir esos complicados $\epsilon, \delta$ argumentos" etc. En otras palabras, realizar acrobacias para poder sortear $\epsilon, \delta$ . He visto lo suficiente de esto para pensar que debería ser categorizado como epsilondeltofobia si todos lo permiten. Personalmente, me encantó aprender las definiciones en estos términos porque fue una de las primeras definiciones rigurosas que me dieron, todo en términos de lógica cuantificadora, y se utilizó para cosas muy fundamentales cuyo verdadero significado siempre me pregunté. Al principio, por supuesto, no tenía ni idea de cómo utilizar el lenguaje, pero me encantaba de todos modos porque era como "wooow", profundo maan". Por no hablar de que, más tarde, empecé a ver que todas las construcciones de orden superior que se construyeron sobre $\epsilon, \delta$ -objetos funcionaron perfectamente, dándome más satisfacción que a quien se le ocurrió $\epsilon, \delta$ el lenguaje sabía lo que estaban haciendo. Así que no estoy diciendo que no esté bien desarrollar un epsilondeltofobia Como todos hacemos naturalmente al principio... pero los libros de texto (algunos) parecen promover este miedo, incluso algunos profesores, y esto es lo que no me gusta. Creo que $\epsilon, \delta$ es genial.

Pregunta: ¿quién piensa igual? ¿en sentido contrario?

Edición: No quiero que esto parezca una afirmación pedante de "rigor o muerte", o una sugerencia de que los primeros cursos de cálculo deben incluir siempre $\epsilon, \delta$ (aunque quizás sí en matemáticas). Sólo estoy en contra de la predisposición a la misma de forma negativa.

20voto

sq1020 Puntos 143

Creo que el retroceso contra $\epsilon,\delta$ definiciones (lo que desgraciadamente se traduce en un rechazo a la $\epsilon,\delta$ técnicas ) está totalmente justificado porque $\epsilon,\delta$ definiciones surgen de la confusión (desgraciadamente generalizada) entre una declaración formal y una declaración que es riguroso .

Considere la definición" formal de continuidad de una función $f$ en un punto $a$ : $$\forall\epsilon\exists\delta\forall x(0<|x-a|<\delta\rightarrow |f(x)-f(a)|<\epsilon)$$ Esto no es más que una manera de objetar lo informal, pero rigurosa:

Por cada bola $B_{f(a)}$ centrado en $f(a)$ Hay una pelota $B_a$ centrado en $a$ para que $f$ envía cada punto de $B_a$ en $B_{f(a)}$ .

que es lógicamente equivalente al conceptualmente más claro, aunque todavía informal, aunque todavía riguroso:

Siempre que la imagen $f(S)$ de un conjunto $S$ se separa de la imagen $f(a)$ de un punto $a$ el conjunto $S$ ya estaba separada del punto $a$ .

que es el contrapositivo de la, informal y rigurosa, definición intuitiva de continuidad de $f$ en un punto $a$ :

Siempre que un conjunto $S$ de puntos están cerca de un punto $a$ el conjunto de imágenes $f(S)$ de esos puntos están cerca del punto de la imagen $f(a)$ .

Creo firmemente que la equivalencia de los enunciados bloqueados y la IDEA que expresa la equivalencia, que es que PODEMOS destilar una noción intuitiva en una definición rigurosa, es mucho más interesante, importante y memorable, que la formal $\epsilon,\delta$ "definición". Además, ni siquiera me atrevo a llamar definición a la "definición" formal, ya que lo que expresa no es una descripción de lo que significa para que una función sea continua, sino una técnica (de $\epsilon,\delta$ pruebas) para saber cómo compruebe que una función es continua.

Esto, en mi opinión, es la razón por el rechazo a la $\epsilon,\delta$ "definición" y argumentos: en lugar de expresar la idea rigurosa o el concepto de continuidad, el $\epsilon,\delta$ "definición" sólo da una técnica para trabajar con la continuidad, y, cuando se presenta como una definición, sólo ofusca el significado del concepto (de una manera muy eficiente, debo añadir, ya que el camino desde la definición intuitiva y significativa a la $\epsilon,\delta$ definición implica tomar un contrapositivo...).

Por último, sí creo que ser consciente de cómo traducir rigurosamente (como en el caso anterior) de la definición intuitiva de continuidad al enunciado de la $\epsilon,\delta$ La técnica no es perjudicial, y sospecho que podría ayudar a los estudiantes a utilizar la ( $\epsilon,\delta$ ), especialmente con las funciones simples que surgen en el Cálculo y el análisis básico.

(Alguien podría criticar lo anterior diciendo que la noción de bola es confusa en el Cálculo de una sola variable. Mi respuesta, tal vez controvertida, es que no hay ninguna buena razón para no enseñar Cálculo con $2$ o $3$ variables del día $1$ y que el estrecho punto de vista que ofrece el Cálculo de una sola variable oscurece más de lo que simplifica).

8voto

Halfgaar Puntos 2866

Resulta que los ingenieros, los científicos y los financieros necesitan usar el cálculo, pero no necesitan entenderlo.

La construcción de la educación universitaria típica alimenta a todos esos estudiantes, más los de matemáticas, a través de los mismos cursos de cálculo introductorio. Esto se hace por eficiencia de costes, y también debido a un ideal potencialmente equivocado de que los matemáticos de carrera deben enseñar matemáticas a personas para las que las matemáticas son, en última instancia, sólo un medio molesto para un fin.

Así que eludir $\epsilon - \delta$ Los argumentos agilizan este proceso, ahorrando problemas a los estudiantes y a los instructores, en detrimento de los estudiantes de matemáticas. Pero esos estudiantes de matemáticas se encontrarán con ello más tarde, de todos modos.

No digo que sea el mejor enfoque, pero quizás sea un poco más eficiente. Los ingenieros mecánicos no quieren aprender $\epsilon - \delta$ y los profesores de matemáticas no quieren enseñar $\epsilon - \delta$ a los estudiantes que nunca truncarán una serie de Taylor más allá del término lineal.

7voto

$(\epsilon,\delta)$ son fundamentales para desarrollar los fundamentos del análisis real, pero a veces se pueden obtener conocimientos mediante técnicas alternativas que no se ven tan fácilmente a través de $(\epsilon,\delta)$ . Consideremos, por ejemplo, el hecho de que la función de cuadratura no sea uniformemente continua. Este es un ejercicio bastante tedioso de motivar si se limita a $(\epsilon,\delta)$ técnicas. Posiblemente el 90% de los estudiantes de grado serán incapaces de reproducir un ejercicio de este tipo si no es de forma pasiva.

Una posibilidad alternativa sería señalar que $f(x)=x^2$ no es microcontinuo en un único punto infinito $H$ y, por tanto, no es uniformemente continua. En este enfoque, la continuidad uniforme se define exigiendo $f$ sea microcontinuo en todos los puntos (estándar y no estándar) de su dominio hiperreal extendido. Así, si se considera un infinitesimal $\alpha=\frac{1}{H}$ entonces $f(H+\alpha)=H^2+2+\alpha^2$ y $f(H+\alpha)-f(H)=2+\alpha^2$ que no es infinitesimal. Así vemos que $f$ no es microcontinuo en $H$ .

Esta definición deja claro que la continuidad uniforme en este caso tiene que ver con el comportamiento de la función "en el infinito". Esta observación puede formalizarse en el contexto de un continuo enriquecido con infinitos, pero no puede formalizarse en el contexto del continuo real.

Así, el $(\epsilon,\delta)$ El enfoque tiene sus ventajas, pero también presenta graves deficiencias pedagógicas.

7voto

Mauro ALLEGRANZA Puntos 34146

Creo que es una cuestión compleja; tenemos tanto pedagógico aspectos y los "fundacionales".

En primer lugar, según mi punto de vista, y asumiendo que no estoy preparado para discutir el lado pedagógico, creo que no podemos evitar en la enseñanza de las matemáticas (y no sólo) cierta cantidad de "dogmatismo". El pasado fracaso en los esfuerzos por introducir el lenguaje de conjuntos ingenuo de antemano a la aritmética elemental fue significativo.

Pruebe por un momento con este "experimento conceptual": la enseñanza en la escuela secundaria del álgebra y el cálculo a partir de la axiomatización $ZF$ y construir todo el material matemático "desde cero" (el conjunto vacío) . ¿Realmente creemos que es factible?

Un libro reciente de John Stilwell , Los números reales Una introducción a la teoría de conjuntos y al análisis (2013), parten de la siguiente consideración :

cualquier libro que revise los fundamentos del análisis tiene que contar con el formidable precedente de la obra de Edmund Landau Fundamentos del cálculo (Fundamentos del análisis) de 1930. [...] tan pocos libros desde 1930 han intentado siquiera incluir la construcción de los números reales en una introducción al análisis. Por un lado, el relato de Landau es prácticamente la última palabra en rigor. [...] Por otro lado, el libro de Landau es casi patológicamente antipático para el lector.

He intentado releer a Landau : es muy ¡"antipático"!

Segundo : por favor, no olvides el enorme esfuerzo que supone, desde Newton y Leibniz hasta (al menos) Cauchy (ver el maravilloso libro de Judith Grabiner, Los orígenes del cálculo riguroso de Cauchy - 1981) para "destilar" la rigurosa $(\epsilon − \delta)$ ¡definición! Y también los estándares de "rigor" matemático están evolucionando.

Más arriba hablé del "dogmatismo" (sugerencia : pensar cómo aplicar las consideraciones de Thomas Khun en SSR sobre el papel "positivo" del dogmatismo en la "ciencia normal" a las matemáticas).

Mi opinión personal es que el mejor antídoto contra el uso (inevitable) del dogmatismo en la enseñanza es la perspectiva histórica: aprender cómo llegamos a las ideas actuales (incluidas nuestro el estándar actual de rigor y nuestro ideas actuales sobre las "fundaciones") puede ser muy útil.

5voto

Definitivamente hay algo en los comentarios de @Arkamis (si es que son algo más relevante para el sistema americano), pero también hay que decir lo contrario.

$\epsilon-\delta$ El lenguaje tiende a ser demasiado técnico; es lo suficientemente sencillo como para expresarlo a los estudiantes de primer año, y lo suficientemente preciso como para practicar una matemática rigurosa, pero todos estos tecnicismos también pueden oscurecer la cuestión (como la famosa analogía de los árboles y el bosque). Los conceptos de conjuntos abiertos y preimágenes bajo funciones pueden ser algo más potentes, y/o apuntan al meollo de la proposición que uno considera, mientras que tener que lidiar con demasiados cuantificadores podría ser engorroso.

Así que, cuando veas que los libros de texto de matemáticas adecuados utilizan construcciones aparentemente complejas para evitar hablar en $\epsilon-\delta$ lenguaje, planteo que la mayoría de las veces eso se hace en nombre de la abstracción, para expresar mejor los conceptos subyacentes, o tratar mejor las nociones nuevas y más generales que el autor desea presentar.


Tuve que volver aquí cuando me encontré con este un ejemplo en el que OP hizo un gran trabajo resolviendo un problema con $\epsilon-\delta$ técnicas, pero todavía parecía sentirse incómodo con los resultados. En mi opinión, eso se debe exactamente a que este lenguaje oculta el quid del problema, la razón por la que las cosas funcionan como lo hacen. Una vez completado el ejercicio, creo que la OP todavía no habría identificado la propiedad subyacente que está presente en los casos en los que la respuesta es "sí", y ausente en los que es "no".

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