Diga si $\dfrac{10^{91}-1}{9}$ ¿es primo o no?

Question

Realmente no tengo ni idea de cómo empezar. El único teorema sobre los números primos que conozco es el pequeño teorema de Fermat y quizá esté relacionado con el teorema del binomio.

Agradeceremos cualquier ayuda.

Answer 1

Piensa en la cifra real.

$10^{91}$ es un $1$ con $91$ $0$ después.

$10^{91}-1$ es por lo tanto $91$ $9$ seguidos.

$\frac{10^{91}-1}{9}$ es por lo tanto $91$ $1$ seguidos.

Debido a la forma de este número, $x$ $1$ en una fila lo dividirá, donde $x$ es un divisor de $91$ .

Por ejemplo $1111111$ es un divisor, también lo es $1111111111111$ .

Por lo tanto, el número no es primo.

Answer 2

Pista: Tenga en cuenta que $91=7\cdot 13$ por lo que el numerador es divisible por $10^7-1$ .

Si esto no es obvio, puede quedar más claro si dejamos que $x=10^7$ . Entonces $10^{91}=x^{13}$ y es un hecho conocido que $x-1$ divide $x^n-1$ para cualquier número entero positivo $n$ .

Answer 3

Utilizando Por qué $a^n - b^n$ es divisible por $a-b$ ? ,

$$a^{91}-1=(a^{13})^7-1^7$$ es divisible por $a^{13}-1$ y análogamente por $a^7-1$

De nuevo, utilizando Demostrar que $\gcd(a^n - 1, a^m - 1) = a^{\gcd(n, m)} - 1$ ,

$$(a^7-1,a^{13}-1)=a^{(7,13)}-1=a-1$$

Por lo tanto, $\displaystyle\frac{a^{13}-1}{a-1}, \frac{a^7-1}{a-1}$ son primos coprimos y divisores de $\displaystyle\frac{a^{91}-1}{a-1}$

Answer 4

Usted tiene

$$111111....1=1+10+10^2.....+10^{90}=(10^{84}+10^{77}+10^70.....+10^7+1) (10^6+10^5+10^4+ \dots + 10^0);$$ esto es producto de dos enteros 2 o mayor, por lo que no es primo.