Residuos cuadráticos y representaciones de enteros por una forma cuadrática binaria

Question

Dejemos que $F = ax^2 + bxy + cy^2$ sea una forma cuadrática binaria sobre $\mathbb{Z}$ . Nosotros decimos $D = b^2 - 4ac$ es el discriminante de $F$ . Dejemos que $m$ sea un número entero. Si $m = ax^2 + bxy + cy^2$ tiene una solución en $\mathbb{Z}^2$ decimos que $m$ está representado por $F$ . Si $m = ax^2 + bxy + cy^2$ tiene una solución $(s, t)$ tal que gcd $(s, t) = 1$ , decimos $m$ está correctamente representado por $F$ .

Mi pregunta ¿Existe alguna otra prueba del siguiente teorema que no sea la prueba original de Gauss? Dado que este teorema es importante, creo que tener diferentes pruebas tiene sentido.

También estaría bien que alguien publicara una forma moderna de la prueba de Gauss, ya que no todo el mundo puede tener un acceso fácil al libro.

Teorema(Gauss: Disquisitiones Arithmeticae, art.154) Dejemos que $ax^2 + bxy + cy^2$ sea una forma cuadrática binaria sobre $\mathbb{Z}$ . Dejemos que $D$ sea su discriminante. Sea $m$ sea un número entero. Supongamos que $m$ está correctamente representado por $ax^2 + bxy + cy^2$ . Entonces $D$ es un residuo cuadrático módulo $4m$ .

EDIT El DA de Gauss es famoso por su difícil lectura. También lo era para sus contemporáneos. Dirichlet dedicó mucho tiempo a simplificar el DA. Existe la leyenda de que Dirichlet siempre llevaba el DA en sus viajes. La prueba de Gauss utiliza a menudo una ecuación "mágica" que parece salir de la nada. Una de las razones es que, como él mismo escribió, no podía permitirse elaborar pruebas por falta de páginas disponibles por una razón económica. Así que creo que sería bueno que hubiera una prueba más natural.

Answer 1

"En esta sección, trataremos principalmente con funciones bivariadas de $x$ y $y$ de la forma:

$$\tag 1 f(x,y)=ax^2 + 2bxy + cy^2$$ (...) Cuando no nos interesan las indeterminaciones $x,y$ nos referiremos a $(1)$ como $(a,b,c)$

Diremos un número $M$ se representa en la forma $(a,b,c)$ si $x,y$ se pueden dar valores tales que $M=f(x,y)$ .

Teorema . Si el número $M$ puede representarse de la forma $(a,b,c)$ tal que $(x,y)=1$ entonces $b^2-ac$ será un módulo de residuo cuadrático $M$ .

Prueba Dejemos que $m,n$ sean los valores de las indeterminaciones, es decir $$ am^2 + 2bmn + cn^2 = M$$ y tomar $\mu$ y $\nu$ tal que $m\mu+n\nu=1$ . Entonces, multiplicando podemos demostrar fácilmente que

$$\left( {a{m^2} + 2bmn + c{n^2}} \right)\left( {a{\nu ^2} - 2b\nu \mu + c{\mu ^2}} \right) = $$

$${\left( {\mu \left( {mb + nc} \right) - \nu \left( {ma + nb} \right)} \right)^2} - \left( {{b^2} - ac} \right){\left( {m\mu + n\nu } \right)^2}$$

o $$M\left( {a{\nu ^2} - 2b\nu \mu + c{\mu ^2}} \right) = {\left( {\mu \left( {mb + nc} \right) - \nu \left( {ma + nb} \right)} \right)^2} - \left( {{b^2} - ac} \right)$$

Así será el caso $${b^2} - ac \equiv {\left( {\mu \left( {mb + nc} \right) - \nu \left( {ma + nb} \right)} \right)^2}\bmod M$$ tal y como afirmamos.

Answer 2

Por la propuesta de esta pregunta existen números enteros $l, k$ tal que $ax^2 + bxy + cy^2$ y $mx^2 + lxy + ky^2$ son equivalentes. Por lo tanto, $D = l^2 - 4mk$ . Por lo tanto, $D \equiv l^2$ (mod $4m$ ).

Answer 3

Dejemos que $f(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2$ . Supongamos que $m = ax^2 + bxy + cy^2$ tiene una solución $(p, r)$ tal que gcd $(p, r) = 1$ . Existen enteros $s, q$ tal que $ps - qr = 1$ . Supongamos que $f(pu + qv, ru + sv) = m'u^2 + luv + kv^2$ , donde $u, v$ son variables indeterminadas. Entonces

$m' = ap^2 + bpr + cr^2$

$l = 2apq + b(ps + qr) + 2crs$

$k = aq^2 + bqs + cs^2$

Por lo tanto, $m' = m$ .

Desde $D = l^2 - 4mk$ , $D \equiv l^2$ (mod $4m$ ).