Cero-dimensionalidad del Cantor ' tienda leakier s

Question

Definición de Cantor de fugas de tienda de campaña:

Deje $C$ ser el conjunto de Cantor en la unidad de intervalo y $p$ el punto de $(1/2,1/2)$ en el plano Euclidiano. Deje $L(c)$ el segmento de recta en el plano que conecta el punto c en el conjunto de Cantor y p. Deje $L_\mathbb{Q}(c)=\{(x,y) \in L(c): y \in \mathbb{Q}\}$$L_{\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}}(c)=\{(x,y) \in L(c): y \in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\}$. Deje $E$ el conjunto de los puntos extremos de los intervalos que se eliminan en la construcción del conjunto de Cantor, junto con $0$$1$. Cantor de fugas tienda de campaña (o Knaster-Kuratowski ventilador) se define como $$T=\bigcup_{c \in E} L_\mathbb{Q}(c) \cup \bigcup_{c \C\setminus E} L_{\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}}(c), $$ y equipado con la inducida por la topología Euclidiana. Por cierto, no tiene la peculiaridad de que está conectado a un espacio, pero el subespacio $T \setminus \{p\}$ está totalmente desconectado (ver Ejemplos de 128 y 129 en Contraejemplos en la topología por Steen & Seebach).

Definición de Cantor del leakier tienda:

El Cantor del leakier carpa es una especie de inversa o complemento de el Cantor de fugas tienda de campaña. Se define como $$ T'=\bigcup_{c \in E} L_{\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}}(c) \cup \bigcup_{c \C\setminus E} L_\mathbb{Q}(c), $$ equipado con la inducida por la topología Euclidiana así.

Pregunta:

Ella dijo que el Cantor del leakier tienda de campaña es un cero-dimensional espacio que significa que tiene una base que consta de abiertos y conjuntos cerrados, en otras palabras, para cada punto de $x \in T'$ y un vecindario $U$ $x$ hay un abrir y conjunto cerrado dentro de $U$ contiene $x$. Cómo ven esto? Dado un punto de $x \in T'$ y un vecindario $U$$x$, tal vez podríamos encerrar el punto de $x$ con un número finito de segmentos de línea que evite el conjunto $T'$ completamente y permanecer dentro de $U$. Los puntos de $T'$ dentro de este recinto, entonces sería un abrir y conjunto cerrado que contiene a $x$. Podría ser esto posible?

Answer 1

LostInMath señaló un agujero en mi anterior versión, que creo que me he fijado en esta edición. La idea básica sigue siendo la misma.

Deje $X = \left(E \times (\mathbb P \cap I)\right) \cup \left((C \setminus E) \times (\mathbb Q \cap I \right)$ donde$\mathbb P = \mathbb R \setminus \mathbb Q$$I=[0,1]$. Deje $X'$ ser el cociente obtenido mediante la identificación de $Z = (C \setminus E) \times \{1\}$ a un punto, que voy a llamar a $z$; claramente $X'$ es homeomórficos a$T'$, $z$ correspondiente a $p$.

Deje $D$ el conjunto de diádica racionales en $I$. Cada una de las $x \in C$ puede escribirse de forma única como $\sum \limits_{k \ge 0} x_k 3^{-k}$, donde cada una de las $x_k \in \{0,2\}$. La función de $f:C \to I$ que envía a $\sum \limits_{k \ge 0} x_k 3^{-k}$ $\sum \limits_{k \ge 0} x_k 2^{-k}$es continua y a es $1$-$1$ excepto en $E \setminus \{0,1\}$, que se asigna $2$-$1$ en $D \setminus \{0,1\}$.

Deje $\phi$ ser un orden, un isomorfismo de $D$ a $\mathbb Q \cap I$; $\phi$ se extiende a una orden de preservación de la homeomorphism $\hat{\phi}:I \to I$. Deje $Y = \left((\mathbb Q \times \mathbb P) \cup (\mathbb P \times \mathbb Q) \right) \cap (I \times I)$, topologized como un subespacio del plano. Para cualquier $a,b \in \mathbb Q$ tal que $0<a<a+b<1$, la línea de $y=ax+b$ es disjunta de a $Y$, e $U(a,b) = \{(x,y) \in Y:y > ax+b\}$ es clopen en $Y$ y contiene $\{(x,y) \in Y:y=1\}$. Deje $g:C \times I \to I \times I:(x,y) \mapsto (\hat{\phi}(f(x)),y)$, y vamos a $N(a,b) = g^{-1}[U(a,b)]$; $N(a,b)$ es un clopen nbhd de $Z$$X$, por lo que su imagen en $X'$ bajo el cociente mapa es una clopen nbhd de $z$. Claramente el conjunto de nbhds es una base local en $z$.

Ahora vamos a $u = (x,y) \in X$; cualquier nbhd de $u$ contiene un 'cuadro' $B = \left([e_0,e_1] \times [y_0,y_1]\right) \cap X$ tal que $e_0 \le x \le e_1$, $e_0 < e_1$, y $y_0 < y < y_1$. No es difícil ver que hay $a_0,b_0,a_1,b_1 \in \mathbb Q$ tal que $$u \in \left( N(a_0,b_0) \setminus N(a_1,b_1) \right) \cap \left([e_0,e_1] \times I \right) \subseteq B.$$ $[e_0,e_1]$ is a clopen nbhd of $x$ in $C$, so $\left( N(a_0,b_0) \setminus N(a_1,b_1) \right) \cap \left([e_0,e_1] \times I \right)$ is a clopen nbhd of $u$ in $X'$, y hemos terminado.