Por alguna razón, últimamente tengo que trabajar con la fórmula del producto de Trotter, pero no tengo una gran formación en análisis funcional.
El siguiente es el enunciado de la fórmula de MathWorld
Cuando A y B son autoadjunto operadores, $$ e^{t(A+B)} = \lim_{n \to +\infty}(e^{tA/n}e^{tB/n})^n $$
Mis preguntas son:
¿Qué significa exactamente el exponencial de un operador?
¿Cómo interpretar la convergencia? ¿En términos de alguna norma?
En este caso $e^{tA}$ denota el semigrupo fuertemente continuo generado por el operador $A$ que no tiene por qué estar acotado (de lo contrario es bastante aburrido).
Le sugiero que eche un vistazo al libro "A Short Course In Operator Semigroups", de Engel y Nagel.
El libro está en la venta amarilla y disponible en springerlink.
Esta fórmula puede deducirse de la fórmula del producto de Chernoff, así que también podrías buscarla. Consulta el capítulo IV.2.
En el Séptimo Seminario por Internet 2003/04 también se trataron los semigrupos y el libro que estoy recomendando se basa en esas notas. Esos apuntes pueden encontrarse probablemente en Internet.
Lo único que puedo encontrar sobre ese seminario en Internet es esto: fa.uni-tuebingen.de/lehre/isem/2003_04 Parece que el programa cubría grandes cosas. ¡¡El semigrupo Ornstein-Uhlbeck!!
Una referencia perfecta. Por cierto, se refiere a Ornstein-UhlENbeck (véase también aquí en MO :)
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Como primer paso, sugiero intentar comprenderlo para $n \times n$ -matrices. Si $A$ y $B$ son operadores acotados en un espacio de Banach, la demostración para matrices es bastante sencilla. Si $A$ y $B$ son ilimitadas, sin embargo, hay que asumir mucho más (esencialmente hay que garantizar que todas las $A,B$ y $A+B$ generan semigrupos de contracción), el Teorema de Hille-Yosida (el semigrupo de contracción generado por $A$ se denomina tradicionalmente $e^{At}$ por buenas razones). La convergencia está en la topología del operador fuerte.
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$e^A=\sum_{k=1}^{\infty}A^k/k!$ . si $A$ procede de algún espacio normado (por ejemplo, la norma euclidiana sobre $\mathbb{R}^{n^2}$ para un $n\times n$ matriz o $\sup_{|x|=1} |Ax|/|x|$ para un operador acotado en un espacio de banach) entonces se puede tomar la convergencia wrt esa norma. ver tal vez es.wikipedia.org/wiki/Matriz_exponencial es.wikipedia.org/wiki/Mapa_exponencial#Teoría_de_Lie