$a_n$ dado, entonces evalúa $\lim_{n\to \infty}a_n$ .

Question

Si $$a_n=\sqrt{4+\sqrt{4+3\sqrt{4+5\sqrt{4+7\sqrt{\cdots\sqrt{4+(2n-1)\sqrt{4+(2n+1)}}}}}}}$$ para cualquier número natural $n$ , entonces evalúa $\lim_{n\to \infty}a_n$ .

Tenga en cuenta que $a_1=\sqrt{4+\sqrt{4+3}}$ y $a_2=\sqrt{4+\sqrt{4+3\sqrt{4+5}}}$ .

No tengo ninguna buena idea. Necesito tu ayuda.

Answer 1

Definir $$ f(x)=\sqrt{4+x\sqrt{4+(x+2)\sqrt{4+(x+4)\sqrt{4+\dots}}}} $$ entonces $f(x)^2=4+xf(x+2)$ . Esto indica que debemos mirar $f(x)=x+2$ .

Considerando $f(x)=x+2$ nos lleva a demostrar inductivamente que $$ x+2=\small\sqrt{4+x\sqrt{4+(x+2)\sqrt{4+\dots+\sqrt{4+(x+2k-4)\sqrt{4+(x+2k-2)(x+2k+2)}}}}} $$

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Definir $$ f_{k,x}(y)=\left\{\begin{array}{} y&\text{if }k=0\\ \sqrt{4+xf_{k-1,x+2}(y)}&\text{if }k>0 \end{array}\right. $$ desenrollado, es decir $$ f_{k,x}(y)=\small \sqrt{4+x\sqrt{4+(x+2)\sqrt{4+\dots+\sqrt{4+(x+2k-4)\sqrt{4+(x+2k-2)y}}}}} $$ Tenga en cuenta que $f_{0,x}(x+2)=x+2$ . Supongamos que, para algunos $k\ge0$ , $f_{k,x}(x+2k+2)=x+2$ . Entonces $$ \begin{align} f_{k+1,x}(x+2k+4) &=\sqrt{4+xf_{k,x+2}(x+2k+4)}\\ &=\sqrt{4+x(x+4)}\\ &=x+2 \end{align} $$ Por lo tanto, para todos los $k\ge0$ tenemos $f_{k,x}(x+2k+2)=x+2$ .

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Queremos demostrar que $$ \lim_{k\to\infty}f_{k,x}(1)=x+2 $$ Tenga en cuenta que $$ \frac{f_{0,x+2k}(x+2k+2)}{f_{0,x+2k}(1)}=\frac{x+2k+2}{1} $$ Supongamos que, para algunos $j\ge0$ , $$ \frac{f_{j,x+2k-2j}(x+2k+2)}{f_{j,x+2k-2j}(1)}\le(x+2k+2)^{1/2^j} $$ Entonces $$ \begin{align} \frac{f_{j+1,x+2k-2j-2}(x+2k+2)}{f_{j+1,x+2k-2j-2}(1)} &=\sqrt{\frac{4+(x+2k-2j-2)f_{j,x+2k-2j}(x+2k+2)} {4+(x+2k-2j-2)f_{j,x+2k-2j}(1)}}\\ &\le\sqrt{\frac{f_{j,x+2k-2j}(x+2k+2)}{f_{j,x+2k-2j}(1)}}\\ &\le(x+2k+2)^{1/2^{j+1}} \end{align} $$ Por lo tanto, para todos los $j\ge0$ , $$ \frac{f_{j,x+2k-2j}(x+2k+2)}{f_{j,x+2k-2j}(1)}\le(x+2k+2)^{1/2^j} $$ en particular, para $j=k$ , $$ \frac{f_{k,x}(x+2k+2)}{f_{k,x}(1)}\le(x+2k+2)^{1/2^k} $$

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Desde $f_{k,x}(x+2k+2)=x+2$ tenemos $$ (x+2)(x+2k+2)^{-1/2^k}\le f_{k,x}(1)\le (x+2) $$ y por el teorema de squeeze, tenemos $$ \lim_{k\to\infty}f_{k,x}(1)=x+2 $$ como se desee. Ajuste de $x=1$ La respuesta a la pregunta es $3$ .