¿Por qué es $\infty^0$ ¿Indeterminado?

Question

En una pregunta de examen reciente tuve que utilizar la regla de L'Hopital para evaluar:

$$\lim_{x\to 0^+} x\ln{(e^{2x}-1)}$$

Supuse que cualquier cosa multiplicada por 0 daría una respuesta de 0. Resulta que no es así. ¿Existe una explicación sencilla de por qué el infinito multiplicado por 0 no es 0?

Answer 1

Cualquier número, cuando se multiplica por 0, da 0. Sin embargo, el infinito no es un número real. Cuando escribimos algo como $\infty \cdot 0$ Esto no significa directamente nada, sino que es una abreviatura de un cierto tipo de límite, donde la primera parte se acerca a infinito.

Ahora, cero veces nada que se acerque a $\infty$ seguirá dando un límite de cero. Sin embargo, eso no es lo que la abreviatura $\infty \cdot 0$ significa. Significa algo que se acerca al infinito multiplicado por algo que se acerca al cero . Y esto no tiene por qué ser cero en absoluto.

Para un ejemplo sencillo, como $x \rightarrow \infty$ , $x^2$ ciertamente se acerca al infinito. Y $\frac{1}{x^2}$ ciertamente se acerca a cero. Pero $x^2 \cdot \frac{1}{x^2} = 1$ Así que cuando multiplicamos los dos juntos obtenemos algo que se aproxima a 1 (porque es constantemente 1).

En esencia, la resolución de estos problemas se reduce a averiguar si la parte que se aproxima al infinito crece lo suficientemente rápido como para "anular" la parte que se aproxima a cero, o si es al revés, o si crecen/se encogen a ritmos que coinciden perfectamente entre sí (como es el caso de $x^2$ y $\frac{1}{x^2}$ ).

Answer 2

"Infinito por cero" o "cero por infinito" es una "batalla de dos gigantes". El cero es tan pequeño que hace que todos desaparezcan, pero el infinito es tan enorme que hace que todos sean infinitos después de la multiplicación. En particular, el infinito es lo mismo que "1 sobre 0", por lo que "cero por infinito" es lo mismo que "cero sobre cero", que es una forma indeterminada.

Su título dice algo más que "infinito por cero". Dice "infinito a la potencia cero". También es una forma indefinida porque $$\infty^0 = \exp(0\log \infty) $$ pero $\log\infty=\infty$ Por tanto, el argumento de la exponencial es la forma indeterminada "cero por infinito" de la que hablamos al principio. Por cierto, en muchos casos, tienes razón en que el argumento será cero porque $\log\infty$ es un infinito "más pequeño" que el infinito normal, y el cero lo "vencerá". Pero no hay una regla universal: el resultado dependerá de las funciones.

El cero también es el ganador en su problema particular de tareas. $$\exp(2x)-1 = 2x+O(x^2)$$ como $x\to 0$ Así que $\log$ del argumento anterior es $\log(2x)$ que va a $-\infty$ pero de forma más lenta que $x$ es cero, por lo que el producto de $x$ y el logaritmo va a cero como $x\to 0$ .

Answer 3

Es indeterminado porque puede ser lo que quieras. Considera estos tres límites:

$$\lim_{x\to\infty} x \frac{1}{x} = \lim_{x\to\infty} 1 = 1$$

$$\lim_{x\to\infty} x^2 \frac{1}{x} = \lim_{x\to\infty} x = \infty$$

$$\lim_{x\to\infty} x \frac{1}{x^2} = \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x} = 0$$

Todos ellos son superficialmente de la forma $\infty$ veces $0$ pero los resultados son muy diferentes. Lo único que se puede decir con certeza es que el resultado no será negativo si los factores son positivos (un "positivo indeterminado" si se quiere).

Simplificando expresiones como éstas a afirmaciones sobre $\infty$ y $0$ , se tira la información sobre el tarifas a la que las cantidades implicadas llegan al infinito o a cero; esta información resulta ser crucial para evaluar correctamente su producto. De la misma manera, en el caso de $\infty - \infty$ y $\infty ^ 0$ que, como dice Luboš, son más o menos lo mismo (basta con tomar el $\log$ o $\exp$ ).

Answer 4

En el contexto de su límite, esto puede explicarse por el hecho de que su "infinito" es también un $1/0$ : $$ \lim_{x \rightarrow 0^+} x \ln( e^{2x} -1 ) = \frac{x}{\frac1{\ln( e^{2x} -1 )}} $$ Y ya que como $x \rightarrow 0^+$ , $\ln( e^{2x} -1 ) \rightarrow +\infty$ , lo consigues $\frac1{\ln( e^{2x} -1 )} \rightarrow 0^+$ , lo que significa que su límite se convierte en $0/0$ .

Es un poco más obvio por qué $0/0$ es indeterminado porque la solución para $x=0/0$ es la solución para $0x=0$ y cada número lo resuelve.

Answer 5

Este es un caso muy sencillo: $\lim\limits_{x\to 0+} x\cdot\frac{6}{x}$ . Claramente $x$ va a $0$ .

Pero $x\cdot\frac{6}{x} = 6$ siempre que $x\neq0$ . Así que $\lim\limits_{x\to 0+} x\cdot\frac{6}{x} = \lim\limits_{x\to0+} 6 = 6$ . Este límite no es $0$ .