¿Cómo probar eso si f (z) es entera y f(z+i) = f (z), f(z+1) = f (z), entonces f (z) es constante?

Question

Así que el problema dice que si $f(z)$ es todo y satisface la relación $f(z+i) = f(z)$ y $f(z+1) = f(z)$, que $f(z)$ es constante. Así que yo pensaba que desde cualquier punto de $\mathbb{C}$ puede ser escrito como $\alpha * 1 + \beta * i $ podemos decir que $f(z + z_0) = f(z) $ en cuyo caso es constante, pero estoy teniendo problemas rompiendo los pasos y usando el hecho eso f es todo, que me hace sentir como que me falta algo. ¿Qué debo revisar para resolver esto?

Answer 1

Creo que sólo se puede utilizar el teorema de Liouville. La cosa es que $f$ está delimitada en compacto subconjuntos del plano complejo, por lo que, en particular, está limitada en la unidad de la plaza de $S = \{ a + bi \in \mathbb{C} \mid a, b \in [0, 1] \}$.

Así que, a continuación, puede utilizar las dos relaciones de $f(z+1) = f(z)$ $f(z+i) = f(z)$ demostrar que los valores de $f$ está determinada por sus valores en la unidad de la plaza porque puede escribir $z = x + iy$ y, a continuación,

$$f(z) = f(x + iy) = f(a + bi + (n + mi)) = f(a + bi)$$

donde$0 \leq a, b \leq 1$$n, m \in \mathbb{Z}$. En este caso,$n = \lfloor x \rfloor$$m = \lfloor y \rfloor$. Luego, por supuesto, $f$ está limitada en todo el plano complejo para el teorema de Liouville se aplica, y $f$ tiene que ser constante.

Answer 2

Aquí está una insinuación: Teorema de Liouville.